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1、第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2(2016郑州模拟)已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，所以
2、AC10(km)3(2016唐山模拟)在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC()A. B.C. D.解析：选B.由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，所以a2(a)2(a)22aacosDAC，所以cosDAC.4(2016淮北质检)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B45C60 D75解析：选B.依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD
3、，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.第4题图第5题图5如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6.6(2014高考四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30
4、，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选C.如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)7一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/小时解析：由题意知，在PMN中，PM68海里，MPN7545120，MNP45.由正弦定理，得，解得MN34海里，故这只船航行
5、的速度为海里/小时海里/小时答案：8某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.解析：由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BS3.答案：39(2016佛山一模)如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到：CD2，CE2，D45，ACD
6、105，ACB48.19，BCE75，E60，则A、B两点之间的距离为_.解析：依题意知，在ACD中，A30，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10，所以AB，即A、B两点之间的距离为.答案：10(2014高考课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析：根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m
7、.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)答案：15011(2016贵阳监测考试)如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，cos B.(1)求ACD的面积；(2)若BC2，求AB的长解：(1)因为D2B，cos B，所以cos Dcos 2B2cos2B1.因为D(0，)，所以sin D.因为AD1，CD3，所以ACD的面积SADCDsin D13.(2)在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcos D12，所以AC2.因为BC2，所以，所以AB4.1(2016石家庄模拟)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的
8、同侧)，且AB2，BC4，CD5，DA3，则四边形ABCD面积S的最大值为()A.B2C6 D4解析：选B.连接AC，则AB2BC22ABBCcos BAD2DC22ADDCcos D，即2016cos B3430cos D，化简得15cos D8cos B7，则S四边形ABCDSABCSADC(8sin B15sin D)令8sin B15sin Dt，则t264sin2B225sin2D240sin Bsin D，又(15cos D8cos B)249，则64cos2B225cos2D240cos Bcos D49，两式相加得289240cos(BD)t249，即t2240240cos(B
9、D)480，当BD时，tmax4，所以S四边形ABCD2，故选B.2如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30，已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛S距地面的距离SA按米处理)(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角MSN(设为)是否存在最大值？若存在，请求出MSN取最大值时cos 的值；若不存在，请说明理由解：(1)如图，作SCOB于点C，连接MS，NS，依题意CSB30，ASB60
10、.又SA，故在RtSAB中，可求得AB3米，即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米在RtSCO中，SC3，CSO30，OCSCtan 30，又BCSA，故OB2米，即立柱的高度OB为2米(2)存在因为cosMOScosNOS，所以，于是得SM2SN226，从而cos .又MSN为锐角，故当视角MSN取最大值时，cos .3.如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN.(1)将AN，AM用含的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)？解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得，所以ANsin ，AMsin(120)sin(60)(2)在AMP中，由余弦定理可得AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0，120)，当且仅当2150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2.
