《高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.3合情推理与演绎推理学案文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.3合情推理与演绎推理学案文（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.3合情推理与演绎推理知识梳理1推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理(2)分类：推理一般分为合情推理与演绎推理2合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理(3)归纳和类比推理的定义、特征3演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况
2、做出的判断诊断自测1概念思辨(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A12P23例题)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10为()A28 B76 C123 D199答案C解析记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(
3、5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.故选C.(2)(选修A12P23例2)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列答案解析设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，bq22，bq38，即2
4、T4，故T4，成等比数列故答案为，.3小题热身(1)(2018厦门模拟)已知圆：x2y2r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0xy0yr2.类比以上结论，有双曲线1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为_答案1解析设圆上任一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2，y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线1上任一点为(x0，y0)，则切线方程为1(这个结论是正确的，证明略)(2)(2015陕西高考)观察下列等式111据此规律，第n个等式可为_答案1解析观察已知等式可知，第n个等式左边共有2n项，其中奇数项为，偶数项为，等式右边共有n项，为等式左边后n项的绝对值
5、之和，所以第n个等式为1.题型1类比推理已知P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的一点，过点P的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y22px两边同时对x求导，得2yy2p，则y，所以过点P的切线的斜率k.类比上述方法求出双曲线x21在P(，)处的切线方程为_注意题意要求，类比上述方法求切线答案2xy0解析将双曲线方程化为y22(x21)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy4x，则y，即过点P的切线的斜率k，由于P(，)，故切线斜率k2，因此切线方程为y2(x)，整理得2xy0.方法技巧1类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类
6、比：类比定义：如等差、等比数列的定义；类比性质：如椭圆、双曲线的性质；类比方法：如基本不等式与柯西不等式；类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球(2)四个原则长度类比面积；面积类比体积；平面类比空间；和类比积，差类比商见典例2类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3常见类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面
7、面垂直，边相等对应面积相等冲关针对训练(2017山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232，所以36的所有正约数之和为(1332)(223232)(222232232)(1222)(1332)91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为_答案465解析类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得，因为2002352，所以200的所有正约数之和为(122223)(1552)465.题型2归纳推理角度1与数字有关的归纳推理(2018石家庄模拟)如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为()A. B.
8、C. D.每行第一个数的分母形成了数列3,6,10,15满足an1ann2，写出A(15,2)，然后采用裂项相消法答案C解析观察题中所给的数阵，可以看出从第三行开始，每行第二个数等于它肩上的两个数的和，所以A(15,2)2222.故选C.角度2与式子有关的归纳推理(2016山东高考)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.分析等式右边的结构规律答案解析观察前4个等式，由归纳推理可知222n(n1).角度3与图形有关的归纳推理如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18个火柴，
9、则第2018个图形用的火柴根数为()A20162019 B20172018C20172019 D30272019答案D解析由题意，第1个图形需要火柴的根数为31；第2个图形需要火柴的根数为3(12)；第3个图形需要火柴的根数为3(123)；由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3(123n)所以第2018个图形所需火柴的根数为3(1232018)330272019，故选D.方法技巧归纳推理问题的常见类型及解题策略1与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解见角度1典例2与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(
10、2)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可见角度2典例3与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性见角度3典例冲关针对训练某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120，依此规律得到n级分形图，n级分形图中共有_条线段答案32n3解析分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3(323)条线段，二级分形图有9(3223)条线段，三级
11、分形图中有21(3233)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an32n3.题型3演绎推理数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明是等比数列，将已知an1Sn中的an1用Sn1Sn表示证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整
12、数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)方法技巧三段论的应用1三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确冲关针对训练(2017厦门模拟)设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0，证明：(1)a0且20，f(1)0，所以c0,3a2bc0.由abc0，消去b得ac0；再由条件abc0，消去c得ab0，所以21.(2)因为抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为，又因为21，所以0，f(1)0，而f0，所以方程f(x)0在区间与内分别有一个实根，故方程f(x)0在(0,1)内有两个实根1(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩答案D解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1
