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1、数学必修4 三角函数与平面向量第一章 三角函数 任意角1*学习目标*1认识角扩充的必要性，了解任意角的概念；2会用集合和数学符号表示终边相同的角，象限角以及区间角；3会用运动的观点认识任意角的概念以及终边相同的角、象限角和区间角的集合表示*要点精讲*1角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形我们规定，按逆时针旋转形成的角叫做正角，按顺时针旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角2直角坐标系内讨论角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任
2、何象限3所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和*范例分析*新课引入：钟面上的时针与分针从时出发，问经过几时几分第一次重合？例1在（指）范围内，找出与角终边相同的角，并判断它是第几象限的角例2（1）写出终边在轴上的角的集合终边在轴上的角的集合呢？终边在坐标轴上的角的集合呢？ （2）写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来例3（1）若角的终边与角的终边关于轴对称，则 （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则 （3）若角的终边与角的终边关于原点对称，则 例4（1）已知是第四象限角，试确定，角所在的象限；（2）如图，分别
3、写出角的终边在甲、乙图中阴影区域内的角的集合(包括边界) *规律总结*1数学是讲究简洁性的，通过数学概括能使表达更加简洁，如例2把终边在轴上的角的集合写成.同样，可以把终边在轴上的角的集合写成，终边在坐标轴上的角的集合写成。2终边在同一直线上的角有两个，都可以合并在一个集合中，设其中一个角为，则终边在此直线上的角的集合是。3在角中，适当取整数的值，把它化成的形式，从而确定出角的终边的位置。4用区间来表示的角叫做区间角，区间角表示角的取值范围，象限角是区间角，终边在某一区域内的可以用区间角表示，如例4*基础训练*一、选择题1角所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设小
4、于的角，第一象限角，则（ ）A锐角 B小于的角 C第一象限角 D第一象限且小于的角3下列各组角中，终边相同的是（ ）A B C D 4已知是第三象限角，则所在的象限是（ ）A第一或第二象限 B第二或第四象限 C第一或第三象限 D第二或第三象限5如果角与角的终边相同，角与角的终边关于轴对称，则与的关系是（ ）A BC D二、填空题6与角终边相同的角的集合是 ，它们中最小的正角是 ，最大的负角是 ，它们是第 象限角7如图，终边在阴影部分内的角的集合（不包括边界）是 8如果为小于的正角，这个正角的倍角的终边与这个角的终边重合，则 三、解答题9（1）写出与终边相同的角的集合；（2）若角，且，求角。10
5、若角的终边与角的终边分别关于轴、轴、原点、直线对称，分别写出这些角的集合*能力提高*11已知，（ ）A B或 C 或 D 或12半径为的圆心位于坐标原点，点从点出发，以逆时针方向等速沿单位圆圆周旋转，已知秒钟内转过的角度为，经过秒钟到达第三象限，经过秒种后又恰好回到出发点，求角的值第一章 三角函数 任意角1*参考答案*新课引入：分析：第一次重合时，分针比时针多旋转了应用题，考虑旋转量，可不考虑正负角解：设过小时时针与分针第一次重合，因为时针每小时顺时针旋转，分针每小时顺时针旋转，所以小时时针顺时针旋转度，分针顺时针旋转度（分针每分钟旋转度），依题意得，答：经过小时分钟，时针与分针第一次重合例1
6、分析：方法1：把角写成的形式；方法2：把与角终边相同的角的集合写出来，然后取适当的整数的值，使解：方法1：除以，商为，余数为，故，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限的角方法2：与角终边相同的角的集合，集合中适合的元素是：当时，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限的角例2（1）在范围内，终边在轴上的角有两个，即，角所有与角终边相同的角构成集合，而所有与角终边相同的角构成集合于是，终边在轴上的角的集合（2）在范围内，终边在直线上的角有两个，即，角因此，终边在直线上的角的集合中适合不等式的元素是时对应的，例3分析：设一基本角，角与角用来表示解：（1）设，则，所以，所以（2）设，则，所以，所以（3）设，则，所以，所以例4（1）是第四象限角，是第三或第四象限的角或终边在轴的非正半轴上，当为偶数时，是第四象限的角，当为奇数时，是第二象限的角（2），*基础训练*答案1C 提示：2D 提示： 第一象限且小于的角3C 提示：任意两角度数之差必须是的整数倍4B 提示：， ，5 A 提示：，6，三 提示：适当取的值7 提示：对顶角区域可合并8 提示： ，9（1）（2）当时，当时，。所以或10， *能力提高*11C 提示：按来讨论集合中角的终边所在的区域，按来讨论集合中角的终边所在的区域，两区域的公共部分为所求角的区域12且，则必有，于是又，或，故或
