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1、数值计算实习课程设计姓名：张光宇指导教师;谭高山学号：119084169目录1、实验目的2、问题的提出3、牛顿插值法的原理4、差商概念的引出5、牛顿插值公式及其余项的公式6、牛顿插值法计算步骤7、牛顿插值多项式的程序实现8、图像对照牛顿插值多项式9、牛顿插值多项式总结10、附 111、附 21、实验目的：通过对牛顿插值多项式的Matlab程序实现，深入了解牛顿插 值多项式的原理及编程解决实际问题的能力.P ( x ) = P (x ) = y2 01 00p (X ) = P (x ) = Y2 11112、问题的提出我们知道Lagrange插值多项式的插值基函数为=n/ (X)=/(x -
2、XI)理论分析中很方便，但是当插值节点点增减减时全部插值基函数就要随之 变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的；Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数I (x)I 都需重新算过。3、牛顿插值多项式的原理我们知道两点直线公式(化，Y丿，(XK1, Yk 1)有:k kk+i k+iL (x) = y + Yk , i - Yk (x - x )(点斜式)1k x - Xkk+1 k、 x - Xx - XL (x) = k+y +kY (两点式)我们考虑点斜式,两点为(仪0理0)你1,y1)，贝ij直线方程为:P (x) = y +Yo (x - x )1
3、0 X 一 X01 0那么，在此基础上增加一个节点(x2,y2),则过这三个点的插值多项式 就是：c(x )应该是一个二次多项式。根据插值条件 P ( X ) = P ( X ) + C ( X )2 1设插值节点为x /函数值为f / i = 0,1,/nii有c (x ) = c (x ) = 0 ,所以0 1根据插值条件(:)=a(x - x )(x - x )0 1P2( x 2)= y 2可以求出:重新写 p2(xj：-xi)(x2-x0)y p (x )C1c厶丄乙(x x )(x x )2 12 0P (x) = P (x) + c (x)2 1丄 y y (、丄y p (x)(
4、)()=y + 10 (x x ) +2 丄 2(x x )(x x )0 x x0(x x )(x x )011 0 2 0 2 1a + a (x x ) + a (x x )(x x )0 1 0 2 0 1其中a = y0 0y ya = 1a1 x x10y p (x )a =21 22 (x x )(x x )2 0 2 1h - x x / i - 0,1,2,/ n 1 ii+1ih 二 max hii插值条件为P(x ) = f / i = 0,1，,nii设插值多项式P( x)具有如下形式P(x)二 a + a (x - x ) + a (x - x )(x - x ) +
5、 0 1 0 2 0 1 + a (x-x )(x-x )(x-x ) n01a为待定系数nP(x)应满足插值条件P(x ) = f / i = 0,1，,nP( x0) = fo = ap(xi) = fi 二 a0 + ai(xi - x0)f f a -101 x x1P(x )二 f 二 a + a (x - x ) + a (x2 2 0 1 2 0 2 2一 x )(x 一 x )0 2 1x x x x010 x x2 14、下面引入差商和差分的概念定义：设f (x)在互异的节点x处的函数值为f ,i - 0,1，,nii_ f (x ) - f (x .)(.=j(i 主 J
6、, xX - Xii jf X , X - f X , X X =i JJ kkX - Xik则由定义fX0,X,Xn Xn+1三 f *，X2,X-f W，X1，,X可以证明差商具有如下性质:X - Xn+101阶差商2阶差商n+1阶差商f(X)的k阶差商fX /X，/X /X 可由函数值 01k1kf ( x )，f (X),/ f ( x )的线性组合表示/且ykf ( X )f X0/ X1,/ Xk -1, XkZ i一0 (x -%)(x -x J(x -x(x -x丿z0 z 0zi 1 zi+1z kk阶差商fx1，2,現关于节点Xo,Xi，Xk是对称的，或者说均差与节点顺序无
7、关，即均差表f S，Xi，,H f 片 Xo,讣f I，Xk-i，,彳Xk零阶均差一阶均差一阶均差二阶均差X0f(x)0X1f(X)1fx, X0 1X2f(X)2fX, X1 2fx,x, X0 1 2X3f(X)3fX, X23fX, X,X123fX,X, X X0123 5、下面给出牛顿插值公式及其余项的公式:f (x) = f (x)+(x - Xo) f x，xof x，X0 = f X0, X1 + (x - X1) f x，X0, X1(n+1)fx,x ，,x = fx ，,x + (xx )fx,x ，,x 0n10nn0n(1) + (x x )x (2) + + (x
8、x )(x x )x (n +1) 00n1T令：N (x) = f (x ) + f x ,x (x x ) + f x ,x ,x (x x )(x x ) + . n001001201f x ,.,(x x ).(x x0n0n1R (x) = f x,x，,x (x一x ).(x一x )(x一x ) n0n0n1n则有：f (x) = N (x) + R (x)nn其中 ai = f x, x,xi6、牛顿插值法计算步骤：牛顿插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出牛顿插值 多项式N (x)，在这些点上取已知值，在区间的其他点x上用牛顿插值 ni多项式的值N (x )作为
9、函数f (x )的近似值。n ii12.输入n值及(xi，f(叮)，i = O，1，,n ；要计算的函数点x。 对给定的x，由N (x) = f (x ) + (x - x ) f x , x + (x - x )(x - x )f x , x , x + + (x 一 x )n0001010120(x 一 x ) (x 一 x ) f x , x , x1n-10 1n计算Nx)的值。3 输岀Nn E。7、Matlab程序实现例：f(x)=lnx的数值如表所示，构造牛顿插值多项式并求ln0.53的X0.40.50.60.70.8lnx0.9162910.693147-0.510826-0.3
10、57765-0.223144解：由表可矢口 x =0.4, x =0.5, x =0.6, x =0.7, x =0.7,0，1，2，3，4函数值：y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144在matlab中输入如下命令：clcclearnewpoly(0 4,0.5,06,0.7,0 8, -0.916291, -0.693147,-0.510826, -0.357765, -0.223144)计算结果如下:ans =-0.30962.6083-5.48615.6921-2.4744由此看岀所求的牛顿
11、多项式为：P(x)= -0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744P(0.53)= -0.6347。8、图像对照牛顿插值多项式9、小结:本实验通过MATLAB编程实现求解牛顿K次插值多项式，能加深对牛 顿插值法的基本思路和步骤的理解。同时也加深了对均差的概念及其 性质的理解。牛顿插值法正是应用均差的性质，克服了拉格朗日插值 法的主要缺点。附1: matlab求解插值多项式，返回多项式的系数functionc, d=newpoly(x, y)%牛顿插值的M ATLAB实现%这里x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向 量。%c为所求的牛顿插值
12、多项式的系数构成的向量。 n=length(x);% 取 x 的个数。d=zeros(n, n);%构造n*n的空数组。d(: , 1)=y； for j=2 : nfor k=j : n d(k, j)=(d(k, j-1) 一 d(k-1, j1) / (x(k)-x(k-j+1);endendc =d(n, n);for k=(n-1): 一 1 : 1c =conv(c, poly(x(k);% conv求积，poly(x) 将该多项式的系数赋给向量。m=length(c); c(m)=c(m)+d(k,k);end附2:在同一个面框内显示ln(x)与牛顿插值多项式的图像x=0:1/10000:1; y=log(x);plot(x,y,b) gtext( ln(x)的图像); hold onp=-0.3096,2.6083,-5.4861,56921,-2.4744; y=polyval(p,x); plot(x,y,g) gtext(牛顿插值多项式函数图像) grid on box offaxis normal axis(0,1,_7,1) text(0 53,log(0.53),插值点) title(ln(x)与牛顿插值多项式图像的比较) legend( ln(x),牛顿插值多项式)
