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1、 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测 数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则是A. B.C. D.2. 已知为虚数单位，设复数满足，则=A. B. C. D.3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式表示的平面区域内的是A. B. C. D. 4.“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条
2、件5. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. B. C. D. 6. 已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分7. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是A. B. C. D.图18. 如图1，矩形中，.点在边上， 且. 如图2，沿直线向上折起成记二面角的平面角为，当时， 图2 存在某个位置，使； 存在某个位置，使； 任意两个位置，直线和直线所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. B
3、. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）开始i=1，S=2结束i=i+1i4?输出S是否S=iS二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 .11.中，分别为边中点，若 （），则_.12. 已知数列满足（），().设，则 ; .（用含的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图
4、中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为，右图中，设，右图阴影区域的面积可表示为_（用含，的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式. 当且仅当满足条件_时，等号成立.14. 如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退 (单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，三点在同一条水平线上，则塔的高为 m；旗杆的高为 m.（用含有和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)已知函数.（）求的单调递增区间；（）在中,为角的对边，且满足，且，求
5、的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国，轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI指数表：单位（）日期1234567891011AQI47123232291781031591323767204日期1213141516171819202122AQI270784051135229270265409429151日期232425262728293031AQI47155191645485
6、75249329表2：2017年12月AQI指数表：单位（）日期1234567891011AQI91187792844492741564328日期1213141516171819202122AQI2849946240464855447462日期232425262728293031AQI5050464110114022115755根据表中数据回答下列问题：（）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（）根据环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）规定：当空气质量指数为050时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为，求的分布
7、列及数学期望；（）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)ACBB1C1A1D如图，在三棱柱中，是线段的中点，且 平面（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）若，求二面角 的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数，.（）求曲线在点处的切线的斜率；（）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；（）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线的焦点为,过抛物线上的动点（除顶点外）作的切线交轴于点.过点作直线的垂线（垂足为）与直线交于点.（）求焦点的坐标；（）求证：；（）求线段
8、的长.20. (本小题满分13分)已知集合，其中.表示中所有不同值的个数.（）若集合，求；（）若集合，求证：的值两两不同，并求；（）求的最小值.（用含的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1一、选择题（40分）题号12345678答案ACDAABBC二、填空题（30分）题号91011答案 48 题号121314答案 三、解答题（80分）15. （本小题满分13分） 解：（）由题知 .由（），解得 . 所以单调递增区间为（）. 6分（）依题意，由正弦定理，.因为在三角形中，所以.即当时，；当时，.由于，所以.则.则.又，
9、所以.由，则的取值范围是. 13分16. （本小题满分13分）解：（）2017年12月空气质量指数的极差为194. 3分（）可取1，2，3；.的分布列为123所以 . 9分（）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.13分17. （本小题满分14分）（）证明：因为，所以 根据题意， 平面，平面，所以因为，所以平面 又因为平面，所以平面平面 4分ACBB1C1A1DE（）证明：连接，设，连接根据棱柱的性质可知，为的中点，因为是的中点，所以又因为平面，平面，所以平面 8分（）如图，取的中点，则，因为，所以，又因为平面，yxzACBB1C1
10、A1DF所以两两垂直以为原点，分别以为轴建立空间坐标系（如图）.由（）可知，平面,所以又因为，,所以平面，所以，所以四边形为菱形由已知，则，设平面的一个法向量为，因为，所以，即设，则再设平面的一个法向量为，因为，所以，即设，则故由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为 14分18. （本小题满分13分）解：（）. 3分（）设，.当时，则函数为减函数.又因为，,所以有且只有一个，使成立.所以函数在区间内有且只有一个零点.即方程在区间内有且只有一个实数根. 7分（）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，即成立，函数为增函数；在上， ，即成立，函数为减函数,则函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：即解得. 13分19. （本小题满分14分）解：（） 2分（）设.由，得，则过点的切线的斜率为.则过点的切线方程为.令，得，即.又点为抛物线上除顶点外的动点，则.而由已知得，则.又，即与不重合，
