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1、二项式定理概念回顾：知识网络结构应用 1二项式定理（1）二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理（2）二项式系数、二项式的通项在式中它的右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.（3）二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是各项的次数和都等于二项式的幂指数字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到（4）几点注意通项是的展开式的第项，这里 二项式的项和的展开式的第项有是区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的注意二项式系数（
2、）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念设，则得公式： 2二项式系数的性质（1）杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算。杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1其余各数都等于它肩上两个数字的和”（2）二项式系数的性质：展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是r为自变量的函数，
3、其定义域是：当 时，的图象为右图这样我们利用“杨辉三角”和 时 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等事实上，这一性质可直接由公式得到增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是，其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如 ），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，）因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，等值时，的值转化为不递增而递减了又因为与首
4、末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 二项式系数的和为，即.奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即.常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题。二、题型阐述：（一）二项式展开式例1求和：例2已知展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的，试求该展开式中二项式系数最大
5、的项。例3若在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（二）二项式定理的定用例5用二项式定理证明：能被整除例6求证：其中。例7求的展开式中含的项的系数。三、专题训练：一、选择题1.（2009浙江卷理）在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) 21世纪教育网 A B C D 2.（2009北京卷文）若为有理数），则 （ ）21世纪教育网 A33B29C23D193.（2009北京卷理）若为有理数），则 （ ） A45 B55 C70 D804.（2010全国卷1理数）(5)的展开式中的系数是（ ）A-4 B-2 C2 D45.（2009江西卷理）展开式中不含的项的系数绝对值的和为
6、，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为 A B C D 6.(2009湖北卷理)设，则 7.（2009陕西卷文）若,则的值为 （A）2（B）0 （C） (D) 8.（2009重庆卷文）的展开式中的系数是（ ）21世纪教育网 A20B40C80D160二、填空题21世纪教育网 1.（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+a3x3,则b= . 2.（2009湖南卷文）在的展开式中，的系数为 6 (用数字作答).3.（2009全国卷文）的展开式中，的系数与的系数之和等于_.4.（2009四川卷文理）的展开式的常数项是 （用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.5.(2009湖南卷理)在的展开式中，的系数为_(用数字作答)6.（2009浙江卷理）观察下列等式： ， ，由以上等式推测到一个一般的结论：对于， 21世纪教育网 7.（2009全国卷理）的展开式中的系数为 。8.（2009重庆卷理）的展开式中的系数是（ ）A16B70C560D11201
