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1、 第三节函数的奇偶性与周期性全盘巩固1下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()AyByx33x3xCylog3x Dyex解析：选B选项A，y的定义域为(，0)(0，)，但其在定义域上不是单调递增函数；选项B，yf(x)x33x3x在其定义域R上是增函数，又f(x)x33x3x(x33x3x)f(x)，所以yf(x)为奇函数；选项C，ylog3x的定义域为(0，)，是增函数但不是奇函数；选项D，yex在其定义域R上是增函数，但为非奇非偶函数2设函数D(x)则下列结论错误的是()AD(x)的值域为0,1 BD(x)是偶函数CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数解析：选CA显然
2、正确；D(x)当xQ时，xQ，而D(x)D(x)1；当x为无理数时，x也为无理数，此时D(x)D(x)0，对任意的xR，D(x)D(x)，故B正确；不妨设aQ且a0，当x为有理数时，D(xa)D(x)1，当x为无理数时，D(xa)D(x)0，D(x)为周期函数，故C不正确；x11，D(1)1，x22，D(2)1，D(x1)D(x2)，D(x)在定义域上不单调，故D正确3设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()A B C. D.解析：选A由题意得ffff.4(20xx温州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a
3、1)若g(2)a，则f(2)()A2 B. C. Da2解析：选Bg(x)为偶函数，f(x)为奇函数，g(2)g(2)a，f(2)f(2)，f(2)g(2)a2a22， f(2)g(2)f(2)g(2)a2a22，联立解得g(2)2a，f(2)a2a22222.5已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 011)f(2 012)()A1log23B1log23C1 D1解析：选Cf(x)是(，)上的偶函数，f(2 011)f(2 011)当x0时，f(x4)f(x2)f(x)，则f(x)在(0，)上是以4为周期
4、的函数注意到2 01145023，2 0124503，f(2 011)f(3)f(12)f(1)log2(11)1，f(2 012)f(0)log210.f(2 011)f(2 012)1.6已知定义域为R的函数yf(x)在0,7上只有1和3两个零点，且yf(2x)与yf(7x)都是偶函数，则函数yf(x)在2 013,2 013上的零点个数为()A804 B805 C806 D807解析：选C根据条件得出函数的周期，再确定一个周期上的零点个数即可求解由函数yf(2x)，yf(7x)是偶函数得函数yf(x)的图象关于直线x2和x7对称，所以周期为10.又由条件可知函数yf(x)在0,10上只有
5、两个零点1和3，所以函数yf(x)在2 013，2 013上有402个周期，加上2 011,2 013两个零点，所以零点个数是40222806.7若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：由题意知，函数f(x)x2|xa|为偶函数，则f(1)f(1)，即1|1a|1|1a|，解得a0.答案：08奇函数f(x)的定义域为2,2，若f(x)在0,2上单调递减，且f(1m)f(m)0，则实数m的取值范围是_解析：因为奇函数f(x)在0,2上单调递减，所以函数f(x)在2,2上单调递减由f(1m)f(m)0得f(1m)f(m)f(m)，所以由得所以m1，故实数m的取值范围是.答案：9(20
6、xx台州模拟)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.解析：f(x2)，f(x4)f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3).答案：10已知函数f(x)2|x2|ax(xR)有最小值(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x0时，g(x)f(x)，求g(x)的解析式解：(1)f(x)要使函数f(x)有最小值，需2a2，故a的取值范围为2,2(2)g(x)为定义在R上的奇函数，g(0)g(0)，g(0)0.设x0，则x0.g(x)g(x)(a2)x4，g(x)11(20xx宁波模拟)函数yf(x)(x0)是奇函数，
7、且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式fx0的解集解：yf(x)是奇函数，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函数，yf(x)在(，0)上是增函数，若fx0f(1)，即0x1，解得x或x0.fx0f(1)，x1，解得x.原不等式的解集是xx或x0.12已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f (x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2 014上的所有x的个数解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)(f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)当0x1时，f(x)x，设1x
8、0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)又f(x)是以4为周期的周期函数，f(x2)f(x2)f(x)，f(x)(x2)，即f(x)(x2)(1x3)f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数，使f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12 014，则n.又nZ，1n503(nZ)，在0, 2 014上共有503个x使f(x).冲击名校1已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR，都有f(x4)f(x)；对于任意的x1，x2R，且0x1x22
9、，都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是()Af(4.5)f(7)f(6.5) Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(7)f(6.5)f(4.5) Df(4.5)f(6.5)f(7)解析：选A由f(x4)f(x)可知函数是周期为4的周期函数，函数yf(x2)的图象关于y轴对称，则函数yf(x)关于x2对称，0x1x22时，有f(x1)f(x2)，所以f(4.5)f(0.5)，f(6.5)f(2.5)f(1.5)，f(7)f(3)f(1)，故f(4.5)f(7)f(6.5)2奇函数f(x)满足对任意xR都有f(2x)f(2x)0，且f(1)9，则f(
10、2 010)f(2 011)f(2 012)的值为_解析：奇函数f(x)满足f(2x)f(2x)0，则f(2x)f(2x)f(x2)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，f(2 010)f(2 011)f(2 012)f(2)f(3)f(4)，令x0，则f(2)0；令x2，则f(4)f(0)0；由f(3)f(1)f(1)9，故f(2 010)f(2 011)f(2 012)9.答案：9高频滚动1已知a0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是()Af(x)axb Bf(x)x22ax1Cf(x)ax Df(x)logax解析：选B依题意得a0，因此函数f(x)axb在区间(0，a)上是增函数；函数f(x)x22ax1(xa)21a2(注意到其图象的对称轴是直线xa，开口方向向上)在区间(0，a)上是减函数；函数f(x)ax、f(x)logax在区间(0，a)上的单调性不确定(a与1的大小关系不确定)综上所述，在区间(0，a)上一定是减函数的是f(x)x22ax1.2(20xx嘉兴模拟)函数y(x2)|x|在a,2上的最小值为1，则实数a的取值范围为_解析：y(x2)|x|函数的图象如图所示，当x0时，由x22x1，得x1.借助图形可知1a1.答案：1，1
