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1、 1 1解答题滚动练31.(20xx日照模拟)已知函数f(x)sin 2x2cos2x1，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，f(C)0，sin B2sin A，求a，b的值.解(1)f(x)sin 2x2cos2x1sin 2x(cos 2x1)1sin 2xcos 2x22sin2，所以f(x)的最小正周期T，最小值为4.(2)因为f(C)2sin20，所以sin1.又C(0，)，2C，所以2C，得C.因为sin B2sin A，由正弦定理，得b2a，由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又
2、c，所以a1，b2.2.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0p1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
3、方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；(2)若p，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？(3)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.解(1)该混合样本达标的概率是2，所以根据对立事件原理，不达标的概率为1.(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为2，2的可能取值为2，4，6.其分布列如下，2246P2C2可求得方案二的期望为E(2)246，方案四：混在一起检测，
4、记检测次数为4，4可取1，5.其分布列如下，415P414可求得方案四的期望为E(4)15.比较可得E(4)E(2)4，故选择方案四最“优”.(3)方案三：设化验次数为3，3可取2，5.325Pp31p3E(3)2p35(1p3)53p3；方案四：设化验次数为4，4可取1，5.415Pp41p4E(4)1p45(1p4)54p4；由题意得E(3)E(4)53p354p4p.故当0p时，方案三比方案四更“优”.3.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形且BAA160，D，M分别为CC1和A1B的中点，A1DCC1，AA1A1D2，BC1.(1)证明：直线MD平面ABC；(2)求
5、二面角BACA1的余弦值.方法一(1)证明连接A1C，A1DCC1，且D为中点，AA1A1D2，A1CA1C1AC，又BC1，ABBA12，CBBA，CBBA1，又BABA1B，CB平面ABB1A1，取AA1的中点F，则BFAA1，即BC，BF，BB1两两互相垂直，以B为原点，BB1，BF，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，B1，C，A，A1，C1，D，M，设平面ABC的法向量为m(x，y，z)，则取m(，1，0)，m00，m，又MD平面ABC，直线MD平面ABC.(2)解设平面ACA1的法向量为n，则取n，又由(1)知平面ABC的法向量为m，设二面角BACA1为，为
6、锐角，cos .方法二(1)证明如图，取AB的中点N，连接MN，CN，则有MN綊AA1綊CD，四边形MNCD为平行四边形，MDNC，又MD平面ABC，NC平面ABC，直线MD平面ABC.(2)解由各棱长易得BCBA，BCBA1，BC平面ABB1A1，如图所示，取AB的中点N，连接A1N，过N作NHAC于H，连接HA1.BCA1N，ABA1N，ABBCB，A1N平面ABC，A1NAC，又NHAC，NHA1NN，AC平面A1NH，A1HAC，故NHA1为所求的二面角的平面角，在RtA1NH中，由ANHACB，得NH，AH，则A1H，故cosNHA1，故所求的二面角的余弦值为.4.已知椭圆1(ab0
7、)的离心率为，过点E(，0)的椭圆的两条切线相互垂直.(1)求此椭圆的方程；(2)若存在过点(t，0)的直线l交椭圆于A，B两点，使得FAFB(F为右焦点)，求t的取值范围.解(1)由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则kME1，ME的直线方程为yx，联立得7x28x2812c20，由0，得c1，所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(3m24)y26mty3t2120，由0，得3m2t240，y1y2，y1y2，(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2(m21)y1y2(mtm)(y1y2)t22t10，所以7t28t89m2有解，所以7t28t80，且7t28t83t2120，则t或t.
