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1、最新版教学资料数学第2讲 概率一、选择题1(2016天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()A. B. C. D.解析：设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率PP(AB)P(A)P(B).答案：A2(2017天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A. B. C. D.解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔
2、中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种所以所求概率P.答案：C3(2017榆林二模)若函数f(x)在区间0，e上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A. B1 C. D.解析：当0x1时，恒有f(x)exe，不满足题意当1xe时，f(x)ln xe.由ln xee，得1xe.所以所求事件的概率P1.答案：B4(2016全国卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B. C. D.解析：小敏输入密码的所有可能情况如下：(M，1)，(M
3、，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.答案：C5有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B. C. D.解析：设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，可知P1.故点P到点O的距离大于1的概率P1.答案：B二、填空题6(2017江苏卷)记函数f(x)的定义域为D.在区间4，5上随机取一个数x，则xD
4、的概率是_解析：由6xx20，得2x3，即D2，3，所以所求事件的概率P.答案：7(2017黄山二模)从集合A2，4中随机抽取一个数记为a，从集合B1，3中随机抽取一个数记为b，则f(x)ax2bx1在(，1上是减函数的概率为_解析：依题意，数对(a，b)所有取值为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共4种情况记“f(x)在区间(，1上是减函数”为事件A.则A发生时，x1，即ab，所以事件A发生时，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3种情况，故所求事件的概率P(A).答案：8(2017福建莆田3月质检改编)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得
5、斜边长不大于1的概率是_解析：任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴)故所求概率P.答案：三、解答题9(2017山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游(导学号 55410136)(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3
6、，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个则所求事件的概率为P.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P.10某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度
7、的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内
8、出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3.故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得：保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为085a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.11(2017成都诊断检测)某省2017年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70，85)内，记为B等；
9、分数在60，70)内，记为C等；60分以下，记为D等同时认定A，B，C等为合格，D等为不合格已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示图1图2(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；(2)在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率解：(1)由题意，可知1
10、0x0.012100.056100.018100.010101，所以x0.004，所以甲学校的合格率为(1100.004)100%0.96100%96%.所以乙学校的合格率为100%0.96100%96%.所以甲、乙两校的合格率均为96%.(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为C，D的6名学生分别记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有C1，C2，C1，C3，C1，C4，C1，D1，C1，D2，C2，C3)，C2，C4，C2，D1，C2，D2，C3，C4，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共15个基本事件其中“至少有1名学生成绩等级为D”
11、包含C1，D1，C1，D2，C2，D1，C2，D2，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共9个基本事件所以抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率为P. 典例(本小题满分12分)(2016全国卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零
12、件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(1)若n19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当x19时，y3 800；当x19时，y3 800500(x19)500x5 700，(2分)所以y与x的函数解析式为y(xN)(3分)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于
13、19的频率为0.7，故n的最小值为19.(5分)(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800704 300204 80010)4 000.(8分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000904 50010)4 050.(11分)比较两个平均数可知，购买1台机器的同
14、时应购买19个易损零件(12分)高考状元满分心得1正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意， 弄清本质，掌握知识间的联系，本题第(1)问与函数问题相结合，求分段函数解析式，要注意分段求x19，x19时的解析式2注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题第(3)问在第(1)问的基础上来正确理解题意，才能顺利求解3计算要准确，步骤要规范在第(3)问中，分别求出购买19个易损零件，20个易损零件的相关费用及平均数，且结果正确，才能得分；通过比较，准确下结论，否则会失去最后1分解题程序第一步：分别求出x19，x19时的函数解析式第二步：写出y与x的函数解析式第三步：通过柱状图求n的最小值第四步：求购买19个易损零件时，所需费用的平均数第五步：求购买20个
