傅里叶变换的通俗解释

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1、傅里叶变换的通俗解释作者：韩昊（德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生）提要：这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前 世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以 很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西 居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您 把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章 来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这 里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并

2、且一定将体会到通过傅里叶分 析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望 不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 以上是开场白，下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初 衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。无论如何，耐下心，读下去。 这篇文章要比读课本要轻松、开心得多一、啥叫频域？ 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、 汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的 方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间 不停的改变，并且永远不会静止下来。但

3、如果我告诉你，用另一种方法来观 察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子， 而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是 从来没意识到而已。现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永 恒的。将以上两图简化：时域：频域：的走势；

4、而在频域，只有那一个永恒的音符。所以，你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一 份早已谱好的乐章。抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我 们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第 一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击， 可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析 可分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Tra nsformatio n), 我们从简单的开始谈起。二、傅里叶级数(Fourier Series)还是举个栗子(

5、举个例子)并且有图有真相才好理解。如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：第一幅图是 1 个（郁闷的）正弦波 cos（x）；第二幅图是 2 个（卖萌的）正弦波的叠加 cos （x） +a.cos （3x）；第三幅图是 4 个（发春的）正弦波的叠加；第四幅图是 10 个（便秘的）正弦波的叠加；随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家 从中体会到了什么道理？随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线 不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的 部分使其变为

6、水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠 加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无 穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起 来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接 受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：-2 0 01 叹0在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就 是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是 组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排

7、列开来 而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之 间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说， 为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。 好了，关键的地方来了！如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“ 1”，我们就有了构建频域 的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。（好吧，数学称法为基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解 释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波 cos（t） 看作基础，那么频域的基本

8、单元就是。有了 “1” 还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？ cos （0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频 率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于 数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去 的老师是怎么定义正弦波的吧。7T20f=4C0MHztOIEifc阖蔽效冃100帕血 渡長i 2帀n JS|HflT-2.5HS1K 長;1施幅n正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。3r-5尺4引门0n4sin394s

9、in594sin79rr2h4 ji2sin2sin292sin302sin49介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：1090.90 70.50 20f 1j f哲e丄E10121J苗这是什么奇怪的东西？这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是再清楚一点：26201S1100可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是 0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我

10、就想 到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱 相位谱。但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么 记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽 半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上 不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看 似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋 转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿 轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人 那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预 测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停 歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友 在我们都是高中生的时候感叹的。