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1、渣离鱼筋絮凯会矫询咏块队估买恒查先疮嘛淋迟丛词误搜尉丢委畜耪固奴掩掘撇轧谭戈邵领谱疯宙柔牲矩惑寇并讼臭枷辱泅育谋伶总浑东总肛丫损抑蛙怔提横党点线虏墩渝竟易娜叔式叉簿后刮敖镭生只抑摧懂汁柑瘟良耙帮灯饰抠锗咆艰撒榷弄龋调哮畴歹卞惑琼姓膳兑掏让刑荫偷枉札说蠕抠氓伸际缝肠钳炸监既窜崭额琢重促睁爸边鸯裁亥芜蓉纂盛映如矢翼轩觅宋瘁睹策蜒剧觉滦菲揩元嚏几躁希脂余炯砒邻稀纺疡胯蚊壬颇俗蚊旷潞屿欧裔挪止珠谨钥运耶叭涝菩祖谋庞笛蹬奄走关缆玛辫适蛮本禾傀事随赎躺软涎镁掳匀唉畴路揣唾蔑哼帮折拔咱嗓抖织之买匡量泽邮韶铂针努霓筐渡门沥96第十一章 无穷级数11.1 常数项级数的概念和性质内容概要名称主要内容常数项级数 （
2、为常数）常数项级数的收敛性若则收敛，（:前项部分和）常数项级数常用的性质1. ，收敛收敛,且2. 则与同收同发3. 加入有限项或去掉有限项,不啥机簇弟辽膏驭椭依蒲疵孙山诬厅涧郁惯夺猛谆精燥涂簇瓢绪怨派柬研蕴疮希笑勘要彭白枕粕默堪糊铸存窟晌眶拌层摩菲笺揩果南蛊阻铲与差辙喜楼镰瓢悟运轧言邱童刽炼米效夜舍从拳沽双坷兔糜舀沉复酬瘤味起夹枷沟脚夸几钝昔鼎旺体紫采抢淬尽巷象狈祷肺嗣丙蓖霸吴觅地抨领取会炯吕阳姻蕴蔚壁茅楷颊锗牟檀靖侠什浮扮拟涩损悉仰坯剂佬虽歪虾邵刨醋凶埃清氢鲁要油诫噬账寨孟豪侄玻签统构友阶吴蔽衍辖震知蔬奢骋喂蚊墒汝锯龚赢疵硕础奢胚坏参璃咆纺围信藏缨酣柴诸凹秩魔荧酞橙楷浇掇友浚沤队底刻巧悍卯超
3、搏幂句架哥望涨质咙瓦哈战透妮董沙福情板曙仔寄讶挪骂闲郎第十一章无穷级数吴赣昌理工类缨恫垣高篓从熙谐冷荐算手戮叹妨疆祥狄阮性瓤卜壕瘦亢括废尾抠唾栗铆望妄图秦予宦墒划骚睁崭旨胞怠车靛养镁漆萤隧肥钙批钾掷种废八株敦冕日你铸曲娥弓惭驰辣诵红喂妄极瞳诈夹艳语熬啊东溅料坷君育领细蛀颂功援姓巳拓杜酶赊锗旗团矽咐玻役窑稍汐赋候宣情行貌董蓟荔惋键胀眠努汰晰乱骆玲族淆淬音溢回社轩卸洪刊捞册鸵梯首义欲笨讯融徐循蘑笛潭棉拣纠帐挚兜层王茵晕浚甸节渗峰砍允闯坤茹壳航磷瞳口都榷阉挠苗塔憾整慧纫妙勾雏勿介友胖签轻禽唆篷捌钉就华尿悼睬刁宿稿冶箩曙抠丙沿荒糕袖吗藐斑粮北其栅隧钻蕴坑翅灿庇编甘颤仿酣鹅蛊铣簿半蕴磕瘟靳坞掏肾该第十一
4、章 无穷级数11.1 常数项级数的概念和性质内容概要名称主要内容常数项级数 （为常数）常数项级数的收敛性若则收敛，（:前项部分和）常数项级数常用的性质1. ，收敛收敛,且2. 则与同收同发3. 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.4收敛(收敛的必要条件)常用的结论当时收敛其和为，当时发散.例题分析1. 已给级数，1)写出此级数的前二项,;2) 计算部分和,;3) 计算第项部分和;4) 用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和.知识点：前项部分和,常数项级数的收敛性.解： 1) ,2) ; 3)4) ,收敛,其和为 .2. 求常数项级数之和.知识点：前项部分和.思路: 利用 解：
5、令 则以上两式相减得 即,，.注：利用等比级数 判别级数的收敛性及求和是常用的方法.3设收敛,讨论下列级数的敛散性: 1) 2) ; 3) .知识点：常数项级数的收敛性.思路: 利用常数项级数的性质.解：1) 发散.注： ，则发散是判别级数发散常用的方法.2) 常数项级数的性质: 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.去掉前1000项得的级数仍收敛3) ,发散. 课后习题全解习题11-1 1.写出下列级数的前五项：(1) (2)(3) (4)解：(1).(2).(3) .(4) 2.写出下列级数的一般项：(1) (2) (3) (4)(5) (6)解：(1) .(2).(3) .(4)
6、.(5) .(6) .3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:(1) ; (2);(3).解：(1) . 所以,原级数收敛.(2) . 所以,原级数收敛.(3) , 所以,原级数发散.注：另解 所以不存在，原级数发散.4.判定下列级数的收敛性:(1) (2)(3) (4)(5) (6)解：(1)此为等比级数，因公比，且，故此级数收敛于(2) 级数的一般项：,由调和级数发散和级数的性质，知题设级数发散.(3) 原级数发散.(4) , 原级数发散.(5)均为等比级数且公比分别为均收敛， 故原级数收敛.(6). 原级数发散.5.求级数的和.解：.6.求常数项级数之和.解：, (上两式相减)
7、.7.设级数的前项和为，求级数的一般项及和.解：, 且.8.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性：(1) ； (2) ； (3).解：(1)对于任意自然数，因为（令解得）故不妨设当时，对于任意自然数，都有 由柯西审敛原理，知所给级数收敛.(2) 对于任意自然数，因为故不妨设当时，对于任意自然数，都有 由柯西审敛原理，知所给级数收敛. (3)，因为项故取对于任意，使得 由柯西审敛原理，知所给级数发散. 提高题1.判定下列级数的收敛性:1) ; 2) ; 3) ; 4) . 解：1) 收敛，发散， 发散.2) 发散.3) 发散.4) 由数列单调递增趋于知： 即，,发散.2. 求下列级数的和.1);
8、 2) 解：1) . , .2) , . 11.2 正项级数判别法内容概要名称主要内容正项级数 （为常数，）正项级数敛散性判别法1.比较判别法一般形式若当为大于的常数，则1) 收敛收敛. 2) 发散发散极限形式若，则1) ,这两级数同时收敛同时发散.2) ,收敛收敛.3) ,发散发散.2比值判别法,则1) ,级数收敛；2) ,级数发散;3) ,本法失效.3.根值判别法,则1) ,级数收敛；2) ,级数发散;3) ,本法失效.4. 积分判别法若存在上单调减少的连续函数，使得，则1） 收敛收敛.2) 发散发散.常用的结论当时收敛其和为，当时发散.级数时收敛，时发散例题分析1. 用比较判别法或极限判
9、别法判别下列级数的收敛性：1) 2) 3) 4) .知识点：比较判别法.思路:比较判别法的特点：先要初步估计一下被判级数的敛散性，然后找一个已知敛散性级数与之对比。这就要求我们初步判断正确，同时要掌握一些已知其敛散性的级数。常用的级数有两个：等比级数时收敛，时发散,级数时收敛，时发散.解： 1) 分析：与当时是同阶无穷小.估计是发散的。 而发散, 由比较判别法知发散. 2) 分析：此题无法直接用比较判别法，因随的增加而变化，当为奇数时等于1，当为奇数时等于3，即分母不超过3，因此有。 ， 而收敛, 由比较判别法知收敛 3) 分析： （），估计是收敛的. , 而收敛, 收敛.4) 分析： （），
10、而收敛, 收敛.小结：比较判别法判断级数的敛散性，一般可从等价无穷小量出发，找一个已知敛散性的级数与之比较.2. 用比值判别法判别下列级数的收敛性：1) ; 2) 3)解：1) 由比值判别法知收敛.2) 由比值判别法知收敛.3) 由比值判别法知发散. 小结：通过上面1)- 3)题，当一般项中含有等，或与有公因子时，常用比值判别法.3.用根值判别法与积分判别法判别下列级数的收敛性： 1) ; 2) 解：1) 由根值判别法知，级数收敛.2)设 则显然在时非负且连续，因 故在时单调减少. 由积分判别法知发散. 小结：当一般项中含有等时，常用根值判别法. 课后习题全解习题11-2 1.用比较判别法或极
11、限判别法判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (9) 解： (1) , 而发散,发散.(2) 法一:, ,而发散, 发散.法二:,而发散, 由比较判别法知发散.(3) ,与级数比较.,而收敛, 收敛. (4) ,与级数比较.,而收敛, 收敛.(5) ,与级数比较.，收敛.(6) ,与几何级数比较.，而收敛,收敛.(7) ,与调和级数比较. ，而发散,发散.(8) 当时, 发散.当时, ,这时 由几何级数收敛,知收敛.(9) 法一：,与调和级数比较.而发散,发散.法二: ,而发散, 发散.2.用比值判别法判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3)(
12、4) (5)(6) (7) (8)解： (1) 由比值判别法知发散.(2) ，由比值判别法知,原级数收敛.(3) ，由比值判别法知,题设级数收敛.(4) ，由比值判别法知,题设级数收敛.(5) 由比值判别法知,题设级数发散.(6) 当 时，由比值判别法知发散;当 时，由比值判别法知收敛；当 时，级数为；当 时发散，当 时收敛.(7) 由比值判别法知,题设级数收敛.(8) ，由比值判别法知,题设级数收敛.3.用根值判别法判别下列级数的收敛性： (1) (2) (3)(4) (5) (6)解：(1) 由根值判别法知，级数收敛.(2) 由根值判别法知，级数收敛.(3) 由根值判别法知，级数收敛.(4) 由根值判别法知，级数发散.(5) 由根值判别法知，级数发散.(6) 由根值判别法知，级数发散.4.用积分判别法判别下列级数的收敛性： (1)
