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1、关于2002年全国高考理科数学压轴题的讨论713400 陕西省咸阳市永寿中学 安振平100080 中国人民大学附属中学 梁丽平1. 考题 设数列满足 n=1,2,3, .(I ) 当时，求，并由此猜想出的一个通项公式； （II）当时，证明对所有的 有(i) ;(ii) 2. 别解解1 (I )由，得从而猜想 （II）(i)用数学归纳法证明： 当时，不等式成立； 假设当时不等式成立，即有，那么 即此时有 根据和可知，对一切，均有 (ii) 上文已证得 即 从而 即 故 解2 （）略.（II）(i)用数学归纳法证明： 当时，不等式成立； 假设当时不等式成立，即有，那么 由于在上单调递增，且，所以，
2、即时，命题成立。根据和可知，对一切，均有(ii) 由于，所以，从而 即 故 解3 （）略.（II） (i)略.(ii) 令，则，代入 得.下证：.,由于，所以 ，即 ,有 ,即,从而故 解4 （）略.（II）（i）先证明引理：对任意正整数，.时，时，所以，引理得证. (i)当时，由可知，.猜想：当时，下用数学归纳法证明.时, 上文已证;假设时命题成立，即，则时，即时，命题成立.根据和可知，对一切，均有.综上可知：对一切自然数，.（ii）由（i）的证明过程知：对一切，均有，所以，3. 加强上文我们思考了原题的别解，进一步提出题（II）（ii）中的不等式能否用数学归纳法证明呢？这就需要我们将原不等式加强为： . 证明1 数学归纳法. 当n=1时，有显然成立. 假设n=m时，有成立，那么当n=m+1时，注意到上文的结论：，有综合以上，原不等式得证. 证明2 应用上文别解中解1的结论：立得 从得出的加强结果,读者不难发现，原不等式中的等号是不能取到的，严格的讲，应当将“”修改为“”，这是我们偶尔得到的一点感悟.4. 思考根据高考数学阅卷现场反映的信息，我们发现不少的考生用（II）(i)的结论来证明（II）(i)，这是一个很明显的错误. 事实上接下来，我们无法证明因为由高等数学知识可知，当时，显然放大的过了头. 可见，在证明不等式的过程当中，特别注意适度的放大或缩小就显得非常重要. 5
