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1、向量的线性相关及其应用:线性相关的内容是线性代数课程的重点和难点，线性相关的相 关结论学生很难理解。向量的相关性反映了数字域中的维度向量空间 中的向量之间的关系。本文总结了判断向量线性相关性和线性独立性 的几种方法。同时，给出了线性相关的一些应用。关键词:线性相关；线性独立性；线性组合；最大不相关群；坐标变换；过渡矩阵 1。向量线性相关和线性组合的基本概念 1。向量线 性相关是向量线性相关和线性独立性的统称。它描述了数域f上的n 维向量空间中向量之间的关系。两个向量之间最简单的关系是成比例 的，即是否有数k,而多个向量之间的比例关系是线性组合。所谓线 性组合是指，如果在数域f中有数，那么这个向
2、量就叫做向量组的线 性组合，或者可以用向量组来线性表示。特别地，零向量是任何向量 集合的线性组合。因此，线性相关性和线性独立性的定义:定义 1:对于一个维向量，如果有一组数不全是零，等于 0，那么该向 量组被称为线性相关；否则，向量组被认为是线性独立的。也就是说， 没有不全是零的数字，零被称为线性独立性。定义2:对于向量组和向量，如果S的数目使得向量是向量组的线性组 合。 2.关于线性相关的几个判断 1？用定义来判断或证明。这种方法 证明思维直观，也是证明向量线性相关最常用的方法。具体步骤是:(1)可以使0这是一个常数；展开并整理上述公式，求解相 应的齐次线性方程；(3)如果不是全部为 0，则
3、原始向量组是线性相关 的；如果都是 0，则原始向量组是线性无关的 2。从逻辑解释来看， 我们把线性相关性解释为“冗余”，把线性独立性解释为“无冗余”。由 于线性独立性等价于任何一个向量不能由其余向量线性表示，向量组 的线性独立性被认为是一个“无冗余”的向量。例如， “如果向量组中 的一些组是线性相关的，则整个向量组也是线性相关的”，这被解释 为如果向量组中的一些组具有冗余向量，则整个向量组也具有冗余向 量。“如果向量组是线性独立的，那么它的任何部分也是线性独立的”， 这被解释为在向量组中没有冗余向量，那么在从向量组中移除一些向 量之后就没有冗余向量。在学习向量组线性相关的过程中，以下两个 定理
4、是最难理解和掌握的。引理 1【1】让向量组(I)由向量组(ii)线性表示，如果s t，则存在线性相关。 我们解释如下:向量组(1)称为“表达向量组”，向量组(2)称为“表达向量组”。条 件s t被认为是一个“剩余”向量。也就是说，“如果相对于所表达的 向量组(ii)，在所表达的向量组(I)中存在冗余向量，则存在线性相关 性。这个解释很容易理解和记住。推论 1 如果一个向量组是线性独立 的，并且可以由一个向量组线性表示。那么s St。推论1可以解释为:如果所表达的向量组是线性独立的，那么所表达的向量组相对 于所表达的向量组没有冗余向量，即s to推论2两个等价的线性独 立向量组具有相同数量的向量
5、。这两个向量组是线性独立的，并且可 以彼此线性表示。这两个向量组相对于彼此没有冗余向量，导致两个 向量组中包含相同数量的向量。这里有更多的例子来说明。示例 1如 果向量组是线性独立的，并且可以用向量组来表示，则必须有（）。 a . ts . c . t s 分析：如果所表达的向量组是线性独立的，那么所表达的向量gr向量组（二）的秩分别为和,若（一）中每一个向量均可由（二） 线性表示,则与的关系是什么？解以下内容以下内容：-省略部分- 15 刘勇。线性方程组的解的结构杰.科技创新导 报， 2009， （35） ：33 16 马丽杰。关于线性代数的教学的几点思考杰. 改革与开放， 2009， （1
6、2） ：198-199 17 吴娟。大学数学教学中的几点 思考杰.科技信息， 2009， （29）：140-14118克里斯罗雷斯和霍华德安 东，中国日报线性代数的应用】（第三版）.约翰威利父子公司 1984 年年19史蒂夫沃尔夫勒姆,数学（部分版），加法-韦斯利出版公司， 1993 年年20大卫 c .莱,线性代数及其应用（第三版），爱迪生韦斯利， 2004年年21 史蒂文j。利昂，线性代数与应用，第六版,普伦蒂斯霍尔/ 皮尔森， 2004 年年22塞吉兰,线性代数导论,第二版,施普林格-弗拉 格， 2004 年年23埃利亚斯迪巴,阿南达古纳瓦德纳,交互式线性代数 与MAPLE五线性相关的一个小小结线性相关是线性代数课程内容的 重点和难点,线性相关的发现,学生很难理解。向量的相关性体现在向 量空间的向量关系的域数上。文章总结了确定线性相关和线性独立向量的几种方法。以及过渡矩阵法的特殊要求。关键词 :线性相关线性独立线性组合大过渡到独立组坐标变换矩阵关键词教育资料
