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1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料3.4基本不等式第1课时【教学过程】来源:2.讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。来源:当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。2得到结论：一般的，如果3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 当所以，即41）从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a
2、、b ，可得，通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式来源:用分析法证明：要证 (1)只要证 a+b (2)要证（2），只要证 a+b- 0 （3）要证（3），只要证 （ - ） （4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式的几何意义探究：课本第110页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证tADtDB，那么D2AB即D.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立
3、.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.补充例题例1 已知x、y都是正数，求证：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x，y都是正数 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 x
4、2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.随堂练习当堂检测： 1.下列叙述中正确的是（ ）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值2下面给出的解答中，正确的是（ ）.（A）yx22，y有最小值2（B）y|sinx|24，y有最小值4（C）yx（2x3），又由x2x3得x1，当x1时，y有最大值1（D）y3 323，y有最大值33.已知x0，则x3的最小值为（ ）.（A）4 （
5、B）7 （C）8 （D）114.设函数f（x）2x1（x0），则f（x）（ ）.（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数5.已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc答案 1 B 2.D 3 B 4.A5.分析：对于此类题目，选择定理：（a0，b0）灵活变形，可求得结果.解：a，b，c都是正数ab20bc20ca20（ab）（bc）（ca）222abc即（ab）（bc）（ca）abc.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求
6、a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab，ab（）2.5.评价设计1若且，则下列四个数中最大的是 （ ） 2aba 2 a,b是正数，则三个数的大小顺序是（ ） 3. ，当取何值时有最小值，最小值是多少答案 : 1. B 2.C 3. 解析：因为， 2=2 当且仅当时即时有最小值2点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。作业：课本第113页习题A组的第1题【板书设计】第2课时【教学过程】2.讲授新课来源:例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜
7、园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由，可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（362x）m，其中0x，其面积Sx（362x）2x（362x）当且仅当2x362x，即x9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81
8、m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由，可得 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则ab，等号当且仅当ab时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab2，等号当且仅当ab时成立.例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问
9、怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式
10、，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.当堂检测：1 下列函数中，最小值为4的是： （ ） 2. 设的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 3函数的最大值为 .4建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？答案：1C 2 D 3 4 3
11、600 5 时，有最小值，4.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。5.评价设计课本第113页习题A组的第2、4题【板书设计】第3课时【教学过程】2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m0,求证 。思维切入因为m0,所以可把和分别看作基
12、本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。证明因为 m0,，由基本不等式得当且仅当=，即m=2时，取等号。规律技巧总结 注意：m0这一前提条件和=144为定值的前提条件。例2 求证:.思维切入 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.证明 当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x0,求的最小值; (2)若x0和=36两个前提条件;(2)中x0来转化.解: 因为 x0 由基本不等式得,当且仅当即x=时, 取最小值12.(2)因为 x0, 由基本不等式得:,所以 .当且仅当即x=-时, 取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.练 习1.已知，且，求的最小值.2.已知，且，.求证.解：1. 2. 4.课时小结用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。5.评价设计证明：若，则为何值时有最小值，最小值为几？【板书设计】来源
