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1、-.利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间例：求以下函数的单调区间(1)y2x33x(2)f(x)3x22lnx.解：(1)由题意得y6x23.令y6x230，解得x22或x2，2当x(，2)时，函数为增函数，当x(222，)时，函数也为增函数令y6x230，解得2x22，2当x(22，2)时，函数为减函数2故函数的递增区间为(，22)和(2，)，递减区间为(22，222)(2)函数的定义域为(0，)，f(x)6x23x212.xx3x21令f(x)0，即20.且x0，可解得xx33；3x21令f(x)0，即20，由x0得，0xx3，333 f(x)的增区间为(，)，
2、减区间为(0，)33规律总结：1在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写2当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，或“和字等隔开，不要用符号“连接，如(1)题中的增区间变式训练：求以下函数的单调区间：(1)求函数f(x)2x39x212x3的单调区间；(2)求函数yx32x2x的单调区间【解】(1)此函数的定义域为R，f(x)6x218x126(x1)(x2)令6(x1)(x2)0，解得1x2，.-.所以函数f(x)的单调递减区间是(1,2) 令6(x1)(x2)0，解得x2或x1，所以函数f(x)的单调递增区间是(
3、2，)，(，1)(2)此函数的定义域为R.y3x24x1，令3x24x10，解得x1或x13.1 因此yx32x2x的单调递增区间为(1，)，(，)3再令3x24x10，解得13x1.13因此yx32x2x的单调递减区间为(，1)例：讨论函数f(x)bxx21(1x1，b0)的单调性【思路探究】(1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)假设先讨论x(0,1)上的单调性，能否判断f(x)在(0,1)上的正负？b的取值对其有影响吗？解：因f(x)的定义域为(1,1)；函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在(0,1) 上的单调性f(x)(b(2x2x1)1)22(x1)当0x1时，x2
4、10，(x21)20，022(x1)当b0时，f(x)0.函数f(x)在(0,1)上是减函数；当b0时，f(x)0，函数f(x)在(0,1) 上是增函数；又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当b0时，f(x)在(1,1) 上是减函数；当b0时，f(x)在(1,1) 上是增函数规律方法：1利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f(x)0(f(x)0)在给定区间上恒成立一般步骤为：求导数f(x)；判断f(x)的符号；给出单调性结论2导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进展分类讨论变式训练：求函数yxbx(b0)
5、的单调区间【解】函数yxbx(b0)的定义域为x|x0，y1bx2x2b.x2.-.当b0时，在函数定义域内y0恒成立，所以函数的单调递增区间为(，0)和(0，)；当b0时，令y0，解得xb或xb，所以函数的单调递增区间为(，b)和(b，)；令y0，解得bxb且x0，所以函数的单调递减区间为(b，0)和(0，b).题型二：利用函数单调性求参数11例：(2021XX模拟)函数f(x)axxlnx，且图象在点(,f()ee处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)(1)XX数a的值；(2)设g(x)f(x)xx1，研究函数g(x)的单调性1解：(1)f(x)axxlnx，f(x)a1lnx，依题意f(
6、)a1，所以a1.e(2)因为g(x)f(x)xx1xlnx，所以g(x)x1x1lnxx12.设(x)x1lnx，那么(x)11x.1当x1时，(x)10，(x)是增函数，x对?x1，(x)(1)0，即当x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数；当0x1时，(x)11x(1)0，即当0x0，故g(x)在(0,1)上为增函数方法规律：1导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0时为增函数；f(x)1时，f(x)是增函数，f(x)2x2a7x0在x1时恒成立即a7x在x1时恒成立2x当
7、x1时，y775x是减函数，当x1时，yx0时，f(x)0，得xa或x2a，故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a，)；当a0，得x2a或x0)当f(x)0，x(0,1)时，函数f(x)3x2x2lnx单调递增当f(x)0，x(1，)时，函数f(x)3x2x2lnx单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)f(x)314x，假设函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，axf(x)3a4x1x0或f(x)314x0，ax.-.3a即4x130或4xxa1x0在1,2上恒成立即3a4x1x或3a4x1x.令h(x)4x1x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以3ah(2)或3ah(1)，3即a152或3a3，解得a0或0a25或a1.题型三：利用导数解决不等式例：定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),f(x1)是偶函数且(x1)f(x)0.假设xx,且x1x22,那么f (x1)与f(x2)的大小关系是12A.f (x1)f (x2)B.f (x
