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1、第四讲立体图形的体积内容概述 正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都 是正方形如果它的棱长为 a，那么可得：正方体的表面积：S 正方体=6a2；正方体的体积：V正方体=a3 长方体：若长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么可得： 长方体的表面积：S 长方体2（abbcac）；长方体的体积：V长方体abc 圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为 r；圆柱体的侧面展开图是一个长 方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长；圆柱体的表面积：S 圆柱体侧面积+2 个底面积=2rh+2r2圆柱体的体积：V圆柱体底面积高=r2h 圆锥体：如右图，圆锥体的
2、底面是圆，其半径为 r；圆锥体的侧面展开图是一个 扇形；圆锥体的体积：V 圆锥体13r2h 球体：V球体43r3r例题精讲类型：进行立体图形的体积计算时，许多时候我们是可以通过分析直接利用公式求得结果。【例1】 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_cm。分析：由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为 75=2cm，从而水与空着的部分的比为 4:2=2:1，由4 4 2 2 2 2 图 1 知水的体积为 104=40，所以总的容积为 402（2+1）=60 立方厘米。【例2】 一个木盒从外面量长 10 厘米，宽 8 厘米，高 5 厘米，木板厚
3、度 1 厘米，那么这个盒子的容积是 多少立方厘米？分析：（10-2）（8-2）（5-2）=144（立方厘米）。【例3】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉 没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外 溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?分析：两个圆柱直径的比是 l：2，所以底面面积的比是 l：4铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所1以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 （注意此条件：乙杯中的水未外溢，如果溢出我们就1不能这样计算了），即：2 =05(厘米)注意运用比例解决问题
4、。【例4】 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米今将一个底面半径 为 2 厘米，高为 17 厘米的铁圆柱垂直放人容器中求这时容器的水深是多少厘米?p52 15分析：法 1：若圆柱体部分浸入水中，则水深为： 17.86 ，17.86 大于铁圆柱得高度 17，p52 -p22这与我们得假设不符，所以圆柱体完全浸入水中，那么参看法 2 的解法即得答案。法 2：若圆柱体能完全 浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：5 p15+2p175 p=17.72(厘米)它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中
5、，而且小于 20厘米，显然水也未溢出于是所求的水深便是 1772 厘米在这个题目中存在一个判断圆柱体是被水完 全浸没，还是部分被浸没，以及水是否溢出的过程，请教师注意引导学生。【例5】 如图，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞，已知立方体边长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求该立方体的体积(取 p =3)分析：体积为：10 3 一 2 4 10+ 43- p(42)2（10-4）=672(立方厘米)【例6】 在底面是边长为 60 厘米的正方形的一个长方体容器里，直立着一个高 100 厘
6、米，底面为边长 15 厘米的正方形的四棱柱铁棍，这时容器里的水深 50 厘米。现在把铁棍轻轻地向正上方提起 24 厘米，露出 水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？分析：容器里的水共有（6060-1515）50，当把铁棍提起 24 厘米时，铁棍仍浸湿在水中的部分长是： （6060-1515）50-606024（6060-1515）=24.4（厘米），所以露出水面的浸湿部分长是：2 2 2 +8 a2 50-24.4=25.6（厘米）。类型：在进行立体图形的体积计算时，我们还可以结合棱长、表面积的特性等求得结果。 【例7】 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个
7、方向上的加固所用尼龙编织条分别为 365 厘米，405 厘米，485 厘米若每个尼龙加固时接头重叠都是 5 厘米问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?1分析：从图可使长宽高，所以长方体中有：(1)高+宽= (365-5)=180，1 1(2)高+长= (4055)=200， (3)长+宽= (4855)=240，解得长=130，宽=110，高=70； 长方体体积为：70110130=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)。【例8】 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半 (如图 )将这个长方体切成12 个小长方体，这些小长方体的表面之和为 600 平方分米求这个大长方体的体积分析
8、：设大长方体的宽(高)为 a 分米，则长为 2a，右(左)面积为 a2，其余面的面积为2 a2，根据题意，22 a2 2+62 a2=600，所以 a2= 600 =25，a=5，大长方体的体积=25 5 5=250(立 24方分米)【例9】 一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位 的数，且都是质数。问这个长方体的体积是多少？分析：我们不妨设正对我们的那个面的面积是 长高，那么有长宽+长高=长（宽+高）=209， 209=1119，19=2+17，所以长方体的长、宽、高为 11、2、17 或 11、17、2，由此可得体积为 11217=374
9、 （立方厘米）。类型：进行立体图形的体积计算时，题目中没有直接给出立体图形，需要我们自己构造而 后计算。【例10】如右图中的长方形 ABCD，以 BC 为轴，旋转一周得到一个几何体，试求这个几何体的体积。（取 3）分析：旋转一周得到圆柱体，其高为 8，底面积为：4 ，那么体积等于 384。我们还可以联想到以一个直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可以得到圆锥，以斜边为轴旋转一周可以得到两个圆锥的叠加（类似陀螺）；以一个半圆的直径为轴旋转一周可以得到一个球体。教师可在此添加 几个题目巩固联系基本公式。【例11】 张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤今年改用长 3
10、米宽 2 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?分析：今年张大爷用长 3 米宽 2 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形，有两种做法，（1）把长 3 米看作底面周长，那么宽 2 看作圆柱的高；（2）把宽 2 米看作底面周长，那么长 3 看作圆柱的高；比较可得（1）种方法所得体积较大，依此计算，底面周长是 3，半径是 3 ，2p3 32 p( )2 =2p 4p，所以今年粮囤底面积是 32 ，4p高是 2；同理，去年粮囤底面积是 224p，高是 1今年粮囤容积是去年粮囤容积的：(324p2 22) ( 1) =4.5. 4p【例12】 现有一张长 40
11、厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁 皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?分析：法 1：探讨分析比较得到答案。（1）如右图，在 4020 的长方形铁皮的四角截去边长 5 厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒这个铁皮盒的：长=40-5-5=30(厘米)，宽=20-5-5=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=3010 5=1500(立方厘米)（2）如右图，在 4020 长方形铁皮的左侧两角上割下边长 5 厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长 =405=35(厘米)，宽=20
12、55=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=35105=1750(立方厘米)（3）如右图，在 4020 的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为 5 厘米的长方形铁 皮 ( 共 二 块 ) ， 分 别 焊到 上 、 下 的 中 间 部 分，这 样 做 成 的 无 盖 铁 皮盒的 长=40-5-5-5-5=20(厘米)，宽=20(厘米)，高=5(厘米)，体积=20205=2000(立方厘米)因此，最后一种容积最大法 2 ：你要想使容积最大，就要充分利用手中的铁皮，如果能将铁皮都用上那么就能得到一个最大的铁盒。 如下图（1），我们从原铁皮上切割下 4 块 520 的长方体，如图（2），将其焊接上能做成一
13、只深是 5 厘米 的长方体无盖铁皮盒，那么此时的容积最大：20205=2000(立方厘米)附加题目2 p4 4 3.1【附 1】如下面图 1 那样,在用塑料制的三棱柱形的筒里装着水,这个筒的展开图如下面图 2.现在,如图 1那样,把这个筒的A面作为底面,放在水平的桌面上,水面高度是 2cm.按上面讲的条件回答下列问题:(1)把(2)把BC面作为底面,放在水平的桌面上,水面高多少厘米?面(直角三角形的面)作为底面,放在水平的桌面上,水面高又是多少厘米?分析：以 A 面作为底面时，水的体积为：（3+3/2）2212=54（立方厘米）。（1）把 B 面作为底面时, 由于以 A 为底面时，有水的部分占其纵横面（底边为 3 厘米的三角形）面积的 3/4，而以 B 为底面时，纵 截面与上述纵截面相同，故以 4 厘米的边为底边，有水部分仍占其面积的 3/4，因此水面高度为截面三角 形高度的一半，即为 1.5 厘米；（2）以 C 面为底面时。水的高度为：54（1/234）=9（厘米）。【附 2】用直径为 20 厘米的圆柱形钢材，锻造长 300 厘米，宽 100 厘米，厚 5 厘米的长方形钢板，应截取 圆柱形钢材多长？（取 3）分析：500 厘米。【附 3】一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如右图所示的六面体 ABCD-EFGH，其中最长的边 DH=8 厘米，最短
