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1、第七讲 基本初等函数（两课时）一、课前训练1、已知函数 若,则的取值范围为 ，在区间的值域 .2、若,则 ,已知且是一次函数,则 ,已知函数满足,则 , ,3、若一元二次不等式的解集为,且函数的图象过点,则 ,已知,若的最小值为,则= .4、已知,则函数的值域为 ,设则实数 的取值范围为 .5、 , 已知函数,则的值域为 . 已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 .6、函数的零点个数为 .函数零点在区间上，则 .答案：1、或 3、；4、； 5、6、二、方法联想1、分段函数 方法1：分段函数分类处理；方法2：分段函数整体处理2、解析式求法 方法1：换元法、配凑法； 方法2：待定系数法；方
2、法3：方程组法3、二次函数二次函数解析式求法：一般式；顶点式；零点式 二次函数解析式求法：结合开口方向，考虑对称轴与区间关系，再根据具体情况对四种情况进行合并（或取舍）4、指数函数 (1)指数方程与不等式问题关键是化同底（2）与指数函数相关值域问题，方法1：转化为利用指数函数单调性；方法2：换元法5、对数函数 （1）利用相关公式将真数和底数都化为最简单形式（2）对数方程与不等式问题关键是化同底6、零点问题方法1：数形结合方法2：连续函数在区间上有，则在区间上至少有一个零点，反之不成立 二次函数在区间上有，则在区间上有唯一一个零点。三、例题分析 各层次公用的例题：例1 已知函数（1）当时，解不等
3、式（2）当时，求函数的最大值答案：（1），（2）函数的最大值为【教学建议】（）主要问题归类与方法： 1、指（对）数不等式问题方法1：利用指（对）数函数单调性，将不等式转化为代数不等式来解；方法2：换元法转化为代数不等式 2、与指数函数相关值域问题，方法1：考察对应函数的单调性，利用单调性处理；方法2：换元法转化为基本函数的值域问题（）方法的选择与优化建议对于问题（1）选择方法1，不适合用换元法，因为不能一次转化为代数不等式。对于问题（2）选择方法2，因为换元法后转化为基本函数的值域问题，处理比较方便。注意点：底数对单调性的影响；例2 已知函数都是常数且 （1）若，判断并证明函数的单调性 （2）
4、若，解不等式答案：（1）当时，函数在上是增函数，当时，函数在上是减函数。（2）当时，不等式解集为当时，不等式解集为【教学建议】（）主要问题归类与方法：1、讨论函数单调性问题 方法利用函数图象；复合函数的单调性；利用函数单调性定义；利用导数求函数的单调区间。 2、与指（对）数相关的解不等式问题方法利用函数单调性，将不等式转化为代数不等式来解；换元法，转化为解代数不等式（）方法的选择与优化建议对于问题（1）：应该选择或，因为方法不能用来证明；对于问题（2）：应该选择方法，因为函数单调性比较明确又容易获得，便于转化。 注意点：第二问中忽视的符号对不等号方向的影响，同号，但也有自己的符号。第一层次备用
5、题： 已知函数的定义域为，求关于的方程 的根的取值范围。解：取值范围为【教学建议】（）主要问题归类与方法： 1、已知函数定义域，求参数范围：方法与求函数定义域方法一致，将问题转化为已知不等式解集，再利用对应方程的根已知，求参数范围。 2、分段函数的值域 方法利用函数图象，求值域；分别求每个区间的值域，再求并集。（）方法的选择与优化建议 对于问题（2）：应该选择方法，因为需要解题过程，方法过程表达不能做到严谨。注意点：最后求得的范围应该两段函数值域的并集。第二层次备用题：设命题函数的定义域为；命题不等式对一切正实数都成立（1）如果是真命题，求实数的取值范围。（2）如果命题为真命题，求实数的取值范
6、围解：（1）实数的取值范围 （2）实数的取值范围【教学建议】（）主要问题归类与方法： 1、已知函数定义域，求参数范围：方法与求函数定义域方法一致，将问题转化为已知不等式解集，再利用对应方程的根已知，求参数范围。2、不等式恒成立问题： 方法分离变量，转化为求函数的最值；直接求函数的最值，再解不等式；利用函数的图象，观察临界点情况，再进行相应的计算。3、复合命题的真假判断： 方法：转化为判断构成复合命题的简单命题的真假，再根据逻辑连接词来判断。（）方法的选择与优化建议对于问题（1）：因为是二次不等式恒成立问题，只需研究判别式及二次项系数的符号；对于问题（2）：学生一定选择方法，因为分离变量比较容易
7、，而且对应函数的值域比较容易求。注意点：命题是真命题时，容易漏掉的情况，另外“”容易出现将“”错误写成“”第三层次备用题：已知函数 （1）求证：函数在上是增函数； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围 （3）若函数在上的值域是，求实数的取值范围。解：（1），在上是增函数（2）实数的取值范围（3）实数的取值范围【教学建议】（）主要问题归类与方法：1、讨论函数单调性问题 方法利用函数图象；复合函数的单调性；利用函数单调性定义；利用导数求函数的单调区间。2、不等式恒成立问题： 方法分离变量，转化为求函数的最值；直接求函数的最值，再解不等式；利用函数的图象，观察临界点情况，再进行相应的计算。3、已知函数的值域，求参数范围方法：借助函数图象了解函数单调性，再高级单调性找最值来处理。（）方法的选择与优化建议对于问题（1）：学生应该选择或，因为方法不能用来证明；对于问题（2）：学生一定选择方法，因为分离变量比较容易，而且对应函数的值域比较容易求。四、反馈练习
