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1、.第一章实数集与函数1实数授课章节：第一章实数集与函数1实数教学目的：使学生掌握实数的根本性质教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式它们是分析论证的重要工具教学难点：实数集的概念及其应用教学方法：讲授局部内容自学教学程序：引 言上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开场，我们就根本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开场问题为什么从实数开场答：数学分析研究的根本对象是函数，但这里的函数是定义在实数集上的后继课复变函数研究的是定义在复数
2、集上的函数为此，我们要先了解一下实数的有关性质一、实数及其性质1、实数问题有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把有限小数包括整数也表示为无限小数为此作如下规定：对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数包括负整数，则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号0表示为0例：；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1定义1给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，假设有，则称与相等，记为；假设或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或对于负实数、，假设按上述规定分别有
3、或，则分别称为与或规定：任何非负实数大于任何负实数2） 实数比较大小的等价条件通过有限小数来比较定义2缺乏近似与过剩近似：为非负实数，称有理数为实数的位缺乏近似；称为实数的位过剩近似，.对于负实数，其位缺乏近似；位过剩近似.注：实数的缺乏近似当增大时不减，即有； 过剩近似当n增大时不增，即有命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使其中为的位缺乏近似，为的位过剩近似命题应用例1设为实数，证明存在有理数，满足证明：由，知：存在非负整数n，使得令，则r为有理数，且即3、实数常用性质详见附录1封闭性实数集对四则运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商除数不为0仍是实数2有序性：，关系
4、，三者必居其一，也只居其一.3传递性：，4阿基米德性：使得5稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数6一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系例2设，证明：假设对任何正数，有，则提示：反证法利用有序性，取二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为2、几何意义从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离表示就是数轴上点与之间的距离3、性质1非负性；2；3，；4对任何有三角不等式；5；6三、几个重要不等式1、2、均值不等式:对记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有平均值不等式:即：等号当且仅当时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当
5、且,且时,有严格不等式证：由且4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式有上式右端任何一项.练习P45课堂小结：实数：.作业P41(1)，2(2)、(3)，32数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质确界原理.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论
6、；此后又让大家自学了第一章1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何有：(1)；(2) .2、证明：.3、设，证明：假设对任何正数有，则.4、设，证明：存在有理数满足.引申：由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出大学数学习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差异，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集区间与邻
7、域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理确界原理.一 、区间与邻域1、 区间用来表示变量的变化范围设且.，其中2、邻域联想：邻居.字面意思：邻近的区域.与邻近的区域很多，到底哪一类是我们所要讲的邻域呢？就是关于的对称区间；如何用数学语言来表达呢？1的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即.其中2点的空心邻域.3的右邻域和点的空心右邻域4点的左邻域和点的空心左邻域5邻域，邻域，邻域其中M为充分大的正数；二 、有界集与无界集1、 定义1上、下界：设为，使得一切都有称为S的上界下界；假设数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.闭区间、开
8、区间为有限数、邻域等都是有界数集， 集合也是有界数集.假设数集S不是有界集，则称S为无界集.等都是无界数集, 集合也是无界数集.注：1上下界假设存在，不唯一；2上下界与S的关系如何？看下例：例1讨论数集的有界性.解：任取，显然有，所以有下界1；但有上界M,则M0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：1任何有限区间都是有界集；2无限区间都是无界集；3由有限个数组成的数集是有界集.问题：假设数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义2上确界设S是R中的一个数集，假设数满足
9、：(1) 对一切有即是S的上界; (2) 对任何，存在，使得即是S的上界中最小的一个，则称数为数集S的上确界，记作从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1充要条件1；2.证明：必要性，用反证法.设2不成立，则，与是上界中最小的一个矛盾.充分性用反证法，设不是的上确界，即是上界，但.令，由2，使得，与是的上界矛盾.定义3下确界设S是R中的一个数集，假设数满足：1对一切有即是S的下界；2对任何，存在，使得即是S的下界中最大的一个，则称数为数集S的下确界，记作.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2的充要条件：1；20，上确界与下确界统称为确界.例31则1；0.2则1；0.注：
10、非空有界数集的上或下确界是唯一的.命题3：设数集有上下确界，则这上下确界必是唯一的.证明：设，且，则不妨设有对，使，矛盾.例：，则有.开区间与闭区间有一样的上确界与下确界例4设和是非空数集，且有则有.例5设和和都有则有证明：是的上界,是的下界,例6和为非空数集,试证明:证明：有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3为例做解释.2. 确界与最值的关系:设为数集.1的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.2非空有界数集必有确界(见下面确实界原理),但未必有最值.3假设存在,必
11、有对下确界有类似的结论.4. 确界原理:(确界原理).设非空的数集.假设有上界，则必有上确界；假设有下界，则必有下确界.这里我们给一个可以承受的说明非空，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界.然后我们遍查和，我们可以找到一个，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小数，如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界.证明：书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明不妨设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得1，有；2存在，有；把区间10等分，分点为n.1，.2，,.9,存在，使得1，有；2存在，使得再对开区间10等分，同理存在，使得1对任何，有；2存在，使继续重复此步骤，知对任
12、何，存在使得1对任何，；2存在，因此得到以下证明对任意，；对任何，存在使作业：P9 11，2；2； 42、4；3函数概念授课章节：第一章实数集与函数3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；牢记根本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、局部内容可自学.教学程序：引 言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义定义 设
13、，如果存在对应法则，使对，存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作 .数集称为函数的定义域，所对应的，称为在点的函数值，记为.全体函数值的集合称为函数的值域，记作.即.几点说明1函数定义的记号中表示按法则建立到的函数关系，表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作.习惯上称自变量，为因变量.2 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的根本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：.由此，我们说两个函数一样，是指它们有一样的定义域和对应法则.例如：1不一样，对应法则一样，定义域不同2一样，只是对应法则的表达形式不同.3函数用公式法解析法表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域自然定义域.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数.即函数或函数.4映射的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下的象.称为的原象.5函数定义中，只能有唯一的一个值与它对应，这样定义的函数称为单值函数，假设对同一个值，可以对应多于一个值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数简称函数.二 、函数的表示方法1 主要方法：解析法公式法、列表法表格法和图象法图示法.2 可用特殊方法来表示的函数.1分段函数：在定义域的不同局部用不同的公式来表示.例如，符号函数
