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1、 1 1第1讲变化率与导数、导数的计算最新考纲1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.知 识 梳 理1.导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)函数f(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数f(x)
2、为f(x)的导函数.2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x
3、)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(4)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()解析(1)f(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f(x0)表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错.(2)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(2)错.(4)f(x)a32axx2x22axa3，f(x)2x2a，(4)错.答案
4、(1)(2)(3)(4)2.(选修11P75例1改编)有一机器人的运动方程为s(t)t2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A. B. C. D.解析由题意知，机器人的速度方程为v(t)s(t)2t，故当t2时，机器人的瞬时速度为v(2)22.答案D3.(20xx天津卷)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_.解析因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案34.(20xx豫北名校期末联考)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_.解析y5ex，所求曲线的切线斜率ky
5、|x05e05，切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.答案5xy205.(20xx全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_.解析由题意可得f(x)3ax21，则f(1)3a1，又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1).切线过点(2，7)，7(a2)3a1，解得a1.答案1考点一导数的计算【例1】 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)y.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)因为yx31，所以y(x3)(1)3x2.(3)因为yxsin x，所以yx1
6、cos x.(4)y.规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.【训练1】 (1)f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，则x0等于()A.e2 B.1C.ln 2 D.e(2)(20xx天津卷)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.若f(1)3，则a的值为_.解析(1)f(x)2 017ln xx2 018ln x.由f(x0)2 018，得ln
7、x00，则x01.(2)f(x)aa(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案(1)B(2)3考点二导数的几何意义(多维探究)命题角度一求切线方程【例21】 (1)(20xx全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.(2)(20xx威海质检)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy10解析(1)设x0，则x0时，f(x)ex1x.因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线yf(
8、x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.答案(1)2xy0(2)B命题角度二求切点坐标【例22】 (20xx西安调研)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析由yex，知曲线yex在点(0，1)处的切线斜率k1e01.设P(m，n)，又y(x0)的导数y，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2.依题意k1k21，所
9、以m1，从而n1.则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例23】 已知直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为()A.2 B.1 C. D.1解析设切点坐标为P(x0，y0)，由yxln x，得y.y|xx0，依题意，x01，则P，又切点P在直线yxb上，故b，得b1.答案B规律方法(1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)当曲线yf
10、(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.【训练2】 (1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.(2)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_.解析(1)由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e).(2)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解，而f(x)a，即a在(0，)上有解，a2，因为a0，所以22，所以a的取值
11、范围是(，2).答案(1)(e，e)(2)(，2)思想方法1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，必须注意交换的等价性.3.曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.易错防范1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2.曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点.3.对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.设yx2ex，则y()A.x2ex2x B.2xexC.(2xx2)ex D.(xx2)ex解析y2xexx2ex(2xx2)ex.答案C2.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()A.e B.1C.1 D.e解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)
