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1、空间几何体的内切球与外接球问题1. 2016全国卷 n体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）32A.12 n B、 n C.8 n D.4 n3解析A因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为2 3,所以正方体的外接球的半径为3,所以球的表面积为4 n（ ；.：.： 3） 2= 12 n、2. 2016全国卷川在封闭的直三棱柱ABC- ABC内有一个体积为V的球.若ABL BC, AB=6, BC= 8,AA= 3,则V的最大值就是（）9 n32 nA.4 n B彳 C.6解析B当球与三侧面相切时，设球的半径为1, /ABL BCAB= 6, BC= 8, a 8- n
2、 + 6- n =10,解得r1= 2,不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为2,则22二3,334339即r 2= 2、二球的最大半径为2,故V的最大值为3 nx 2=2冗、3、2016郑州模拟在平行四边 形 ABCD 中，/ CBA= 120 ,AD= 4,对角线 BD= 2 .3,将其沿对角线BD折起,使平面ABDL平面BCD若四面体ABCD勺顶点在同一球面上，则该球的体积为 答 案：20捉n ;解析：因为/ CBA= 120 ，所以/ DAB= 60，在三角形ABD中，由余弦定理得（2 寸 3） 2= 42+ AB- 2X 4 AB- cos 60 ，解得 AB= 2
3、,所以 ABL BD 折起后平面 ABDL 平面 BCD即有AB上平面BCD如图所示，可知A, B, C, D可瞧作一个长方体中的四个顶点，长方体的 体对角线AC就就是四面体ABC 夕卜接球的直径，易知AC= 22 + 42 = 2 5,20 i5所以球的体积为n、4、2016山西右玉一中模拟球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面， ABC就是边长为2的正三角形，平面SABL平面ABC则棱锥S ABC的体积的最大值为（）B y3C2 萌D4选A;解析（1）由于平面SABL平面ABC所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上根据球 的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的
4、中点时，SH最大，此时棱锥S ABC的体积 最大.r = O（= ; CH= 3 x因为 ABC就是边长为2的正三角形，所以球的半径在 Rt SHC 中，OH=2o（=所以 SH=233 33 = 1,故所求体积的最大值为gx x 22X 1二于5、2016赣州模拟如图7- 38- 19所示，设A,B,C,D为球O上四点，AB,AC,AD两两垂直且AB=AC= ,； 3,若AD= R （R为球O的半径），则球O的表面积为（）图 7-38-19A n b.2 n C4 nD.8 n选D;解析：因为ABAC AD两两垂直,所以以ABAC AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的 各顶点均在球面
5、上，AB= AC=W,所以AE、/6,AD= RDB 2R则有氏+ 6= （2R） 2,解得R= 2, 所以球的表面积S= 4 n氏=8 n、6、2016安徽皖南八校三联如图所示，已知三棱锥A- BCD勺四个顶点AB, CD都在球O的表 面上，ACL平面BCDBCLCD且AC= .3, BC= 2, CD= : 5，则球O的表面积为（）A.12 n B.7 n C.9 n D.8 n解析A由ACL平面BCDBCL CD知三棱锥A BCD可以补成以ACBCCD为三条棱的长方体，设球 O 的半径为 R 则有（2R） 2= AC+ BC+ CD=3 + 4 + 5= 12,所以 S 球二4 n R
6、= 12 n、7. 2016福建泉州质检已知A, B, C在球O的球面上，AB= 1, BC= 2, / ABC= 60 ，且点O 到平面ABC的距离为2,则球O的表面积为 .答案:20 n 解析在么ABC中用余弦定理求得AC= 3,据勾股定理得/ BAC为直角，故BC的 中点O即为 ABC所在小圆的圆心，则OO上平面ABC,在直角三角形OOB中可求得球 的半径r =5,则球O的表面积S= 4n r2=20 n、& 2016河南中原名校一联如图K38- 16所示,ABCDABCD就是边长为1的正方体,S- ABCD 就是高为1的正四棱锥，若点S,A, B,C, D在同一个球面上，则该球的表面积
7、为A 9 c 25 厂 49 f 81A n B、n C n D n16 16 16 16选D;解析如图所示作辅助线，易知球心0在SG上，设0G= x,则0B= SO= 2-x,同时由正方体的性所知BG = ?,则在RtA OBG中，由勾股定理得OB = GB1+ 0G即(2 - x)2 = X2+，解得x = 7,所以球的半径R= 2 - 7 = 9,所以球的表面积S= 4 n R = n、28 8 8 169. 2013课标全国I 如图， 球放在容器口，再向容器内注水 度，则球的体积为()1 372 n 3C3 cm33 86gm 3 BD3有个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 c
8、m,将一个，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚解析：设球半径为日,由题可知R R- 2,正方体棱长一半可构成直角三角形，即 OBA为直角三角形，如图BC= 2, BA= 4, OB= R- 2, OA= R由 R2= (R- 2) 2+ 42,得 R= 5,43 5003所以球的体积为3兀5 = 3 n (cm )，故选A项.答案:A10. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3 ； 2,则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A.12 n B.36 nC.72nD.108n选B;解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32 X 2 = 6,高为BR.解析：如图，球心O在截面A
9、BC的射影ABC勺外接圆的圆心O、由题意知08 2, OA=R其中R为球O的半径.在么ABC中，AC=AB+ BC 2AB - BC - COS120。设么ABC勺外接圆半径为r,则2r =而莎。二晋二4,得r = 2,即O A= 2、在Rt OGA2222R2216264 n中，0 0人=OA,即，+ 4二氏,解得戌=,故球。的表面积S= 4n氏二，故选A、 433答案:A12. 2014郑州模拟在三棱锥A- BCD中，AB= CD= 6, AC= BD= AD= BC= 5,则该三棱锥的外接球的表面积为.解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，2.2
10、2a + b = 6设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、。,且其外接球的半径为R则b + c = 答案:A;解析如图所示,E为AC与BD的交点.因为正四棱锥的底面边长为2,所以AE= 2AC=a2、设球心为。球的半径为R则OE=4 R, OA= R又因为 AOE为直角三角形，所以OA= OE+ AE ,即R = (4 R)2 + 2,解得R=,所以该球的表面积S= 4 n R = 4 n 2 445 _2得2 2-2c + a = 5+ bi 2 3 4 + C2= 43,即(2 F)2= a2 + b2 + C2= 43,易知R即为该三棱锥的外接球的半径， 的外接球的表面积为答案：43n1
11、3.2014全国卷球的表面积为(81 n4 n R = 43 n、所以该三棱锥正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该)27 n n C.9 n D、4B.16积为(AA.8L 4解析该几何体为一个四棱锥,其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径)n B.16 n C.32 n答案:C;为 2 2,表面积为 4nX （22）2 二 32 n、15. 已知四棱锥S- ABC。的所有顶点在同一球面上，底面ABCC就是正方形且球心0在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+ 16 3,则球0的体积等于（A 字 B、16n C322n D n333答案:D;
12、解析由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥设球0的半1I 二 22R- 条 + R = 16+ 16 3, 径为 R 则 AC= 2R S0= R AB=2R 则有（AJ2R）2 + 4X-x厂464 J2解得R= 2#2,球。的体积就是3 n R =3 n、16. 2016武汉调研已知直三棱柱ABC ABC的各顶点都在同一球面上，若AB= AC= AA =2, / BAC= 90 ，则该球的体积等于 .答案：4、空n ；解析设该球的球心为Q ABC所在圆面的圆心为。，则OO上平面ABC 1 1 且OS 1、在么ABC中，因为AB= AC= 2, / BAC= 90。，所以 ABC外接圆的半径r = 2BC= 2 AB+ AC=H2,所以该球的半径R= r2+ O。=渺2）2 + 12二、3,所以该球的体积V= 4 n3R = 4 3 n、3 2* 2 3- 2x6 2= 3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球 “的 球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3,所以其外接球的表面积等于4nX3 = 236 n、11. 2014石家庄质检一已知球。，过其球面上A B、C三点作截面，若0点到该截面的距离就是球半径的一半，且AB= BC= 2, / B= 120，则球O的表面积为（）64 n 8 n16 n339
