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1、高等数学教案 第一章 函数与极限第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（含
2、左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质。教学难点：1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 间断点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集
3、合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A=a1, a2, , an, M=x | x具有性质P . 例如M=(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . R表
4、示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z= , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 若xA, 则必有xB, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B)或BA . 如果集合A与集合B互为子集, AB且BA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 若AB且AB, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的
5、并集(简称并), 记作AB, 即 AB=x|xA或xB. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称IA为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律AB=BA, AB=BA; (2)结合律 (AB)C=A(
6、BC), (AB)C=A(BC); (3)分配律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)C=AC BC, (AB)C=AC BC. (AB)C=AC BC的证明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为AB, 即 AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR
7、且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb. 类似地有 a, b = x | a xb 称为闭区间, a, b) = x | axb 、(a, b = x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, b-a称为区间的长度. 无限区间: a, +) = x | ax , (-, b = x | x b , (-, +)=x | | x | +. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻
8、域, 记作U(a). 设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点a的d邻域, 记作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d x a+d =x | | x-a|d. 其中点a称为邻域的中心, d 称为邻域的半径. 去心邻域(a, d): (a, d)=x |0| x-a |d 二、映射 1. 映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY , 其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即 y=f(x), 而元素x称为元素y(在映
9、射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f, 即 D f=X ; X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R f, 或f(X), 即 R f=f(X)=f(x)|xX. 需要注意的问题: (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域D f=X; 集合Y, 即值域的范围: R f Y; 对应法则f, 使对每个xX, 有唯一确定的y=f(x)与之对应. (2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yR f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一个子集, 即R f Y, 不一定R f=Y . 例1设f : RR, 对每个xR,
10、 f(x)=x2. 显然, f是一个映射, f的定义域D f=R, 值域R f =y|y0, 它是R的一个真子集. 对于R f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个. 例2设X=(x, y)|x2+y2=1, Y=(x, 0)|x|1, f : X Y, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. 显然f是一个映射, f的定义域D f=X, 值域R f =Y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1, 1上. (3) f :-1, 1, 对每个x, f(x)=sin x . f是一
11、个映射, 定义域D f =, 值域R f =-1, 1. 满射、单射和双射: 设f是从集合X到集合Y的映射, 若R f =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x 1x 2, 它们的像f(x 1)f(x 2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 上述三例各是什么映射？ 2. 逆映射与复合映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yR f , 有唯一的xX, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从R f 到X的新映射g, 即 g : R f X, 对每个yR f , 规定g
12、(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域=R f , 值域=X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射 g : XY 1, f : Y 2Z, 其中Y 1Y 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成fg(x)Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: X Z, (f o g)(x)=fg(x), xX . 应注意的问题: 映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R g必须包含在
13、f的定义域内, R gD f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同. 例4 设有映射g : R-1, 1, 对每个xR, g(x)=sin x, 映射f : -1, 10, 1, 对每个u-1, 1, . 则映射g和f构成复映射f o g: R0, 1, 对每个xR, 有 . 三、函数 1. 函数概念 定义 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 y=f(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f=D. 应注意的问题:
