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1、第6章 静电场中的导体和电介质上一章已经讨论了真空中的静电场.在实际中,电场中总有导体或电介质(即绝缘体)存在.本章将讨论静电场与导体、电介质的相互作用和影响.对于导体本章只限于讨论各向同性的均匀金属导体.6.1 静电场中的导体一、导体的静电平衡金属导体的电结构特征是在它的内部有可以自由移动的电荷自由电子,将金属导体放在静电场中，它内部的自由电子将受静电场的作用而产生定向运动，并在导体侧面集结，使该侧面出现负电荷，而相对的另一侧面出现正电荷,这就是静电感应现象.由静电感应现象所产生的电荷,称为感应电荷.感应电荷同样在空间激发电场,将这部分电场称为附加电场,而空间任一点的电场强度是外加电场和附加
2、电场的矢量和.在导体内部附加电场与外电场方向相反,随着感应电荷的增加,附加电场也随之增加,直至附加电场与外电场完全抵消,使导体内部的场强为零,这时自由电子的定向运动也就停止了.在金属导体中,自由电子没有定向运动的状态,称为静电平衡.所以有如下的静电平衡条件：(1)导体内部的场强处处为零(否则自由电子的定向运动不会停止)；(2)导体表面上的场强处处垂直于导体表面(否则自由电子将会在沿表面分量的电场力的作用下作定向运动).由导体的静电平衡条件容易推出处于静电平衡状态的金属导体必具有下列性质：(1) 整个导体是等势体,导体表面是等势面(这是由于导体上的任意两点 a 和 b 因导体内各处电场强度为零而
3、使其电势差为零)；(2) 导体内部不存在净电荷,电荷都分布在导体的表面上(这是由于导体内各处电场强度为零,使得在导体内任意一闭面的电通量为零).二、导体表面的电荷和电场处于静电平衡的金属导体,电荷只分布在导体的表面上,在导体表面上电荷的分布与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关.对于孤立导体,实验表明,导体曲率愈大处(例如尖端部分),表面电荷面密度也愈大；导体曲率较小处,表面电荷面密度也较小；在表面凹进去的地方(曲率为负),电荷密度更小.另外由高斯定理可以求出导体表面附近的场强与该表面处电荷面密度的关系.在导体表面紧邻处取一点P,以E 表示该处的电场强度,如图6.1所示.过P点做一
4、个平行于导体表面的小面积元 ,并以此为底,以过P点的导体表面法线为轴作一个封闭的扁筒,扁筒的另一底面在导体的内部.由于导体内部的场强为零,而表面紧邻处的场强又与表面垂直,所以通过此封闭扁筒的电通量就是通过面的电通量,以表示导体表面上P点附近的面电荷密度,据高斯定理可得 (6.1)其中n是导体表面法线方向.上式表明带电导体表面附近的电场强度大小与该处面电荷密度成正比 .对于有尖端的导体,由于尖端处电荷密度很大,尖端处的电场也很强,当这里的电场强到一定值时,就可使空气中残留的离子在电场作用下发生激烈运动,使得空气电离而产生大量的带电粒子.与尖端上电荷异号的带电粒子受尖端电荷的吸引,飞向尖端,使尖端
5、上的电荷中和掉；与尖端上电荷同号的带电粒子受到排斥而从尖端附近飞开.从外表上看,就好象尖端上的电荷被“喷射”出来放掉一样,这现象称为尖端放电.在尖端放电过程中,还可使原子受激发光而出现电晕.避雷针就是根据尖端放电的原理制成的.在高压设备中,为了防止因尖端放电而引起的危险和电能的浪费,可采取表面光滑的较粗导体.三、静电屏蔽1 导体空腔对于腔内没有带电体的空腔导体,如图6.2(a)所示,在导体内部作一包围空腔的高斯面S,由于S面上的场强在导体处于静电平衡状态时处处为零,由高斯定理可知导体空腔内表面上的电荷代数和为零,导体空腔内表面没有电荷分布如图6.2 (a),否则,若在导体内表面分布着等量异号电
6、荷如图6.2(b),这时电力线就从导体空腔内表面某正电荷处出发,而终止到导体空腔内表面负电荷处,这与静电平衡时导体为等势体相矛盾；内表面上电荷密度为零,内表面附近也不会有电场.否则,若腔内空间存在电场,那么这种电场的电力线就只能在腔内空间闭合,这也是与静电场的性质相矛盾的,所以, 腔内没有电荷的导体空腔在静电平衡时,其内表面没有电荷分布；空腔内没有电场、电势处处相等并等于导体的电势.对于腔内有带电体的空腔导体,用高斯定理也不难证明,空腔内表面必定带有与腔内带电体等量异号的电荷.2 静电屏蔽根据导体空腔的性质,在导体空腔内部若不存在其它带电体,则无论导体外部电场如何分布,也不管导体空腔自身带电情
7、况如何,只要处于静电平衡,腔内必定不存在电场.另外,如果空腔内部存在电量为+q 的带电体,则在空腔内、外表面必将分别产生-q 和+q 的电荷,外表面的电荷+q 将会在空腔外空间产生电场,如图6.3(a)所示.若将导体接地,则由外表面电荷产生的电场随之消失,于是腔外空间将不再受腔内电荷的影响,如图6.3(b)所示.这种利用导体静电平衡性质使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响,或者将导体空腔接地,使腔外空间免受腔内电荷和电场影响的现象,称为静电屏蔽.静电屏蔽在电磁测量和无线电技术中有广泛的应用.如常把测量仪器或整个实验室用金属壳或金属网罩起来,使测量免受外部的影响.作业(P141)：6.96
8、.2 电容 电容器一、孤立导体的电容理论和实践都证明,任何一种孤立导体,它所带的电量q与其电势V成正比,则孤立导体所带的电量q与其电势V的比值为一常数,把这个比值称为孤立导体的电容,用C表示,即为 (6.2)可见,孤立导体的电容C只决定于导体自身的几何因素,与导体所带的电量及电势无关,它反映了孤立导体储存电荷和电能的能力.例如,一半径为R,带电为Q的孤立导体球 ,其电势，进而电容为 在国际单位制中,电容的单位为法拉(F).常用的还有微法(F)和皮法(PF).二、电容器及其电容实际的导体往往不是孤立的,在其周围还常存在着别的导体,且必然存在着静电感应现象,这时导体的电势V不仅与其所带的电量Q有关
9、,而且还与其它导体的位置、形状以及所带电量有关.也就是说,其它导体的存在将会影响导体的电容.在实际中,根据静电屏蔽原理常常设计一导体组,使其电容不受外界的影响,这种导体的组合就称为电容器.常用的电容器是由中间夹有电介质的两块金属板构成.设有两个导体A和B组成一电容器(常称导体A、B为电容器的两个极板).若A,B分别带电+q和- q,其电势分别为,电容器的电容定义为：一个极板的电量q与两极板间的电势差之比,即 (6.3)孤立导体实际上也是一种电容器,只不过另一导体在电势为零的无限远处.三、几种常见的电容器及其电容1 平行板电容器及其电容这种电容器是由两块彼此靠得很近的平行金属板构成.设金属板的面
10、积为S,内侧表面间的距离为d,在极板间距d 远小于板面线度的情况下,平板可看成无限大平面,因而可忽略边缘效应.若极板带等量异号电荷,电量大小为q,面电荷密度为,则两极板间的电势差为 据式(6.3)得平行板电容器的电容为 (6.4)可见平行板电容器的电容与极板面积S成正比,与两极板间的距离d成反比.2 同心球形电容器及其电容这种电容器是由两个同心放置的导体球壳构成.设内、外球壳的半径分别为RA和RB ,内球壳上带电量+Q ,外球壳上带电量-Q .据高斯定理可求得两球壳之间的电场强度大小分布为 方向沿径向向外.两球壳间的电势差为 据式(6.3)得同心球形电容器的电容为 (6. 5)当RB时,C=4
11、0RA,此即为孤立导体球的电容.3 同轴柱形电容器及其电容这种电容器是由两块彼此靠得很近的同轴导体圆柱面构成.设内、外柱面的半径分别为RA和RB,圆柱的长为l,且内柱面上带电量+Q ,外柱面上带电量-Q .当lRB-RA时,可忽略柱面两端的边缘效应,认为圆柱是无限长的.据高斯定理可求得两柱面之间的电场强度大小分布为 式中是内柱面单位长度所带的电量.两柱面间的电势差为 因为内柱面上的总电量为Q=l,所以同轴柱形电容器的电容为 ( 6.6 )归纳以上几例,计算电容的一般方法为：先假设两个极板分别带有+Q和- Q的电量,计算两极板间的电场强度分布；再根据电场强度求出两极板的电势差；最后根据电容的定义
12、计算电容器的电容.四、电容器的联接在实际应用中,既要考虑电容器的电容值,又要考虑电容器的耐压值,当单个电容器不能同时满足这两个要求时,就需要把现有的电容器适当联接后使用.当几只电容器互相联接后,它们所容的电荷量与其两端的电势差之比,称为它们的等值电容.若n个电容器串联(电极首尾相接),其等值电容C满足下式 (6.7)若n个电容器并联(各电容器的正、负极分别连在一起),其等值电容C满足 (6.8)应当指出,在电容器串联时,总电容降低,但耐压能力增强；在电容器并联时,总电容增加,而耐压值等于耐压能力最低的电容器的耐压值.在具体电路中,根据电路的要求使用不同的连接方法.有时还采取既有串联,又有并联的
13、电容器组合,即电容器的混联.例题6.1 C1、C2两个电容器,分别标明了200PF、500V和300PF、900V,把它们串联起来后,等效电容是多少？如果两端加1000V电压,是否会击穿？解：C1和C2串联等效电容为 若在它们两端加电压U=1000V,则每块极板带电 q = CU = 1000 1.2 10 -10 = 1.2 10 -7 C此时,两电容器的端电压分别为 由于C1的耐压是500 V.则C1将被击穿, 击穿后,所有的电压都加在C2上,故C2也将被击穿.作业(P141)：6.116.3 稳恒电流一、稳恒电流和稳恒电场电荷的定向移动形成电流,提供电流的带电粒子称为载流子,单位时间通过
14、导体横截面的电量称为电流强度,电流强度的方向规定为正电荷定向移动的方向.电流强度用符号I表示.如果在dt时间内通过导体某截面的电量为dQ,则通过该截面的电流强度为 (6.9)在国际单位制中,电流强度是七个基本物理量之一,其单位为安培(A),是七个基本单位之一.1 电流密度电流强度反映了单位时间内载流子通过导体整个横截面的状况,它不涉及载流子穿过横截面各处的细节.如果导体的粗细不均匀,在大截面各处和小截面各处载流子的分布状况显然不同.为了描述电流的分布,引入另一个物理量,即电流密度.电流密度是矢量,它在导体中任意一点的方向与正载流子在该点流动的方向相同,它的大小等于通过该点并垂直于电流的单位横截面的电流强度.如图6.4所示,dS是在考察点附近与所考察点电流方向垂直的面元,dI是流过面元dS的电流强度,n是面元dS的法向单位矢.而dS 则是在考察点附近与dS对应的任一面元,n是其法向单位矢,是n与n的夹角.电流密度为 (6.10) 在国际单位制中,电流密度的单位是安培/米2(A/m2 )由电流密度的定义可知,通过导体中任一曲面S的电流强度I可以表示为 (6.11)可见,通过导体中任一曲面S的电流强
