《高一平面向量的数量积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一平面向量的数量积（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 年级高一学科数学内容标题平面向量的数量积编稿老师褚哲一、学习目标1. 掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.2. 了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题，掌握向量垂直的条件.3. 理解平面向量数量积的应用，在解题过程中体会化归思想及数形结合思想.二、重点、难点重点：掌握平面向量的数量积及其几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.难点：平面向量数量积的综合应用.三、考点分析从近几年的高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题等.（1）客观题考查数量积的定义、性质及运算律，难度较低.
2、（2）主观题以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用，多与函数、三角函数、不等式等知识联系在一起，难度中等.1. 两个向量的夹角：作，则称作向量与的夹角，记作，并规定当=时，则，且规定零向量与任意向量垂直.2. 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq叫做与的数量积，记作，即 = |cos，并规定与任意向量的数量积为0.3. 向量在数轴上的正射影：向量在数轴上的正射影的数量平面向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cosq的乘积.4. 两个向量的数量积的性质 设、为两个非零向量，是单位向量（1） = =|cos； （2） = 0（
3、3）当与同向时， = |；当与反向时， = -|，特别地 = |2 （4）cosq = ； （5）| |5. 平面向量数量积的运算律（1）交换律： = （2）数乘结合律：() =() = ()（3）分配律：( + ) = + 6. 平面向量数量积的坐标表示（1）已知两个向量，则.（2）设，则.（3）平面内两点间的距离公式 如果A、B，那么.（4）向量垂直的判定 两个非零向量，则.（5）两向量夹角的余弦设，是非零向量，是与的夹角，记作，则=.7、向量的应用（1）在平面几何方面的应用.（2）在物理方面的应用.知识点一：平面向量数量积的运算例1：已知下列命题：；其中正确命题的序号是_.思路分析：平面
4、向量数量积的运算律不同于实数的运算律，它虽满足交换律、分配律、数乘结合律，但不满足消去律和结合律.解题过程：、解题后思考：掌握平面向量数量积的含义，平面向量数量积的运算律不同于实数的运算律.例2：已知，若：（1）；（2） ；（3）的夹角为，分别求的值.思路分析：利用平面向量数量积定义求解.解题过程：（1）当时，=或=.（2）当时，=.（3）当的夹角为时，=.解题后思考：熟练应用平面向量数量积的定义求值，注意两个向量夹角的确定及分类的完整性.变式训练：已知，求的值.解：知识点二、夹角问题例3：若，且，求向量与向量的夹角. 思路分析：求两个向量的夹角，根据平面向量数量积的夹角公式，只需先求出它们夹
5、角的余弦值，然后即可求解.解题过程：依题意得又 解题后思考：注意两个向量的夹角共起点，在解题过程中应灵活应用两个向量夹角的两种求法.变式训练：已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.解：将两边平方得， 则， 故的夹角为.例4：已知两单位向量与的夹角为，若，试求向量与的夹角的余弦值.思路分析：利用及求解.解题过程：由题意，且与的夹角为，所以，同理可得 而，设为与的夹角，则 解题后思考：向量的模的求法和向量间的乘法计算由此题可见一斑.知识点三：向量模的问题例5：已知向量满足，且的夹角为，求的值.思路分析：涉及向量模的问题一般利用求解.解题过程：，且的夹角为 ；解题后思考：涉及向量模的问题一般利用求
6、解，注意对式子两边开平方是常用的方法.变式训练：（1）已知向量，若不超过5，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. （2）已知的夹角为， ，则 等于（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 1解：（1），故选C.（2），解得，故选B.知识点四：两向量的平行与垂直例6：已知平面向量（1，x），（2x3，x），xR.（1）若，求x的值；（2）若，求|.思路分析：若，是非零向量，则 = 0，且当，则，而当时，解题过程：（1）若，则(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0.整理得x22x30，解得x1或x3.（2）若，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，(
7、1，0)，(3，0)，|(1，0)(3，0)|(2，0)|2.当x2时，(1，2)，(1，2)，|(1，2)(1，2)|(2，4)|2.解题后思考：应注意区别两向量平行、垂直时，向量的坐标表示形式.知识点五：平面向量数量积的综合应用例7：已知：、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若|，且，求的坐标；（2）若|=且与垂直，求与的夹角.思路分析：注意区分向量平行与垂直时向量的坐标表示形式.解题过程：（1）设，由和可得： 或 或 （2） 即，所以 . 解题后思考：注意平面向量与三角函数的综合运用知识点六：平面向量的应用例8. 求证：直径所对的圆周角为直角.解题过程：令AB为圆O直径，即
8、AB=2r（如图）O为AB中点，, 又，.解题后思考：用向量证明几何问题，证明过程简洁，（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中几何元素，（2）通过向量运算研究几何元素之间的关系（3）把运算结果转化为几何关系.向量这部分内容集代数与几何知识于一身，利用向量可以解决平面几何问题，首先要把线段看成向量，然后结合坐标，利用坐标来进行运算，利用向量可以解决四大问题：a. 共线，b. 垂直，c. 模，d. 夹角.（答题时间：60分钟）一、选择题1. 已知、均为单位向量，它们的夹角为60，那么|+ 3| =（ ）A. B. C. D. 42. 若平面向量与向量的夹角是，且，则（ ）A. B. C.
9、 D. 3. 已知、是非零向量，且满足，则是（ ）A. B. C. D. 4. 已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（ ）A. B. C. 16，0D. 4，05. 若非零向量互相垂直，则下列各式中一定成立的是（ ）A. B. C.D. 6. 已知a=(2，3)，b=(4，7)，则a在b方向上的正射影的数量为（ ）A. B. C. D. 7. |a|=3，|b|=4，向量a+b与ab的位置关系为（ ）A. 平行 B. 垂直 C. 夹角为 D. 既不平行也不垂直8. 边长为的正三角形ABC中，设=c，=a，=b，则ab+bc+ca等于（ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 3二、填空题1.
10、 已知向量与的夹角为，且，那么的值为 .2. 已知向量与的夹角为，且，那么的值为 .3. 的夹角为，则 .4. 直角坐标平面上有三点，若为线段的三等分点，则= .5. 如图，正六边形中，有下列四个命题：其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）.三、解答题1. 已知a=(2，24)，b=(1，1)，求a与b的夹角2. 如图，已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：.一、选择题1. 2. A 3. B 4. D 5. B 6. C 7. B 8. D 二、填空题1. 【答案】： 0【试题分析】利用数形结合思想知，向量b与2a+b垂直.【考点】向量运算的几何意义【易错提醒】
11、如果使用直接法，易出现计算错误.【提示】向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等问题希望引起同学们的注意.2. 【答案】【解析】3. 【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算.=，74. 【答案】【解析】由已知得，则5. 【答案】、【解析】，对取的中点，则，对设，则，而，错又，对真命题的代号是、三、解答题1. 解：ab=(2，24)(1，1)21（24）122|a|b|=设与的夹角为60cos， 0180，60即a与b的夹角为60.2. 解析：构造三角形，利用向量的三角形法则证明.证明：如图，连接EB和EC ，由和可得， （1）由和可得， （2）（1）+（2）得， （3）E、F分别为AD和BC的中点， ，代入（3）式得，
