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1、平面向量的数量积一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，_ 2范围向量夹角的范围是_，a与b同向时，夹角_；a与b反向时，夹角_3向量垂直如果向量a与b的夹角是_，则a与b垂直，记作_.二、平面向量数量积1已知两个非零向量a与b，则数量_叫做a与b的数量积，记作_，即_，其中是a与b的夹角规定0a0.当ab时，90，这时_2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea.2abab0.3aa|a|2，|a|.4cos .(为a与b的夹角)5|ab|a|b|.四、数量积的运算律1交换律：abba.2
2、分配律：(ab)cacbc.3对R，(ab)(a)ba(b)五、数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1aba1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|.4cos .(为a与b的夹角)小题能否全取1已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|2已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为()A2 B. C2 D3(2012重庆高考)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B. C2 D104已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b
3、的数量积ab_.5已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角_.平面向量数量积的运算 例1(1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()A6B5C4 D3 (2) (2012浙江高考)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.以题试法1(1)(2012天津高考)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1) ，R.若2，则()A. B. C. D2 (2)(2011江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.两平面向量的夹角与垂直例2(1)(2012福州质检)已知
4、|a|1，|b|2，a与b的夹角为120，abc0，则a与c的夹角为()A150B90 C60 D30(2)(2011新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.以题试法2(1)设向量a(x1,1)，b(x1,3)，则a(ab), x ()Ax0或2 Bx2 Cx1 Dx2(2)已知向量a(1,0)，b(0,1)，cab(R)，向量d如图所示，则()A存在0，使得向量c与向量d垂直B存在0，使得向量c与向量d夹角为60C存在0，使得向量c与向量d共线平面向量的模 例3设向量a，b满足|a|1，|ab|，a(ab)0，则|2ab|()A2B2 C
5、4 D4以题试法3(2013聊城质检)已知向量a(sin x,1)，b.(1)当ab时，求|ab|的值；(2)求函数f(x)a(ba)的最小正周期平面向量数量积的综合应用 例4(太原模拟)已知f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)(xR)(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)1，求A 的大小。42013陕西卷 已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值 1(2013豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a(x1,
6、2)和向量b(1，1)平行，则|ab|()A.B.C. D.2(2013山西省考前适应性训练)已知向量a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为()A. B.C. D.3已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量(1,1)，n(1，1)，且n2，则n等于()A2 B2C0 D2或24(2012湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B.C2 D.5已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，则ab与ab的夹角为()A30 B60C120 D1506如图，在ABC中，ADAB，|1，则()A2 B3C. D.7(2013“江南十校”联考)若|a|2，|b|4，且(ab)a
7、，则a与b的夹角是_8(2012新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.9(2013大连模拟)已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_10已知a(1,2)，b(2，n)，a与b的夹角是45.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与ca垂直，求c.11已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?12设在平面上有两个向量a(cos ，sin )(0360)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小
