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1、最新版教学资料数学第4讲 直接证明与间接证明一、填空题1已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析 由条件得cnanbnn，cn随n的增大而减小cn1cn.答案 cn11；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解析 若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.来源 答案 5已
2、知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A、B、C的大小关系为_解析，又f(x)x在R上是减函数ff()f.答案ABC6定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：()1.解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*1+(n-1).又1*1=1,n*1=n.答案n7如果abab，则a、b应满足的条件是_解析首先a0，b0且a与b不同为0.要使abab，只需(ab)2(ab)2，即a3b3a2bab2，只需(ab)(a2abb2)ab(ab)，只需a2abb2ab，即(ab)20，只需ab.故a，b应满足a0，b0且ab.答案a0，b0且ab8观察
3、(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)_.解析 通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数答案 g(x)二、解答题9在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由若成等差数列，请给出证明解 A、B、C成等差数列证明如下：，3.1，c(bc)a(ab)(ab)(bc)，b2a2c2ac.在ABC中，由余弦定理，得cos B，0B180，B60.AC2B120.A、B、C成等差数列10
4、设等差数列an的前n项和为Sn，且a5a1334，S39.(1)求数列an的通项公式及前n项和公式；(2)设数列bn的通项公式为bn，问是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m3，mN*)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由解(1)设等差数列an的公差为d，则由得解得故an2n1，Snn2.(2)假设存在正整数t.由(1)知bn，要使b1，b2，bm成等差数列；则需2b2b1bm，即2，整理，得m3.当t2时，m7；当t3时，m5；当t5时，m4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列11已知函数f(x)ln xax2(2a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)
5、设a0，证明：当0xf；(3)若函数yf(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0，f(x)在(0，)上单调递增若a0，则由f(x)0得x，且当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明设函数g(x)ff，则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax，g(x)2a.当0x0，而g(0)0，g(x)0，故当0xf.(3)证明由(1)可得，当a0时，函数yf(x)的图象与x轴至多有一个交点a0，从而f(x)的最大值为f，且f0.不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0x1x2，则0x1ff(x1)0.从而x2x1，于是x0.由(1)知f(x0)0.
