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1、线性规划练习一、 “截距”型考题在线性约束条件下，求形如的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1. (2012年高考辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大值为A20 B35 C45 D55解1、选D； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点时，的最大值为55，故选D.练习1(2012年高考山东卷 理5)的约束条件，则目标函数z=3xy的取值范围是 A ，6B，1 C1，6 D6， 1、选A； 【解析】 作出可行域和直线：，将直线平移至点处有最大值，点处
2、有最小值，即. 应选A.二 . “距离”型考题1.【2010年高考福建卷 理8】 设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A. B.4 C. D.21、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。2、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小
3、值分别是（）2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxAA、13，1 B、13，2C、13， D、，解2：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2xy2=0的距离的平方，即为，选C三. “斜率”型考题1. 已知变量满足约束条件，则的取值范围是_.解：由得 ；由得 表示过可行域内一点及原点的直线的斜率 由约束条件画出可行域（如图），则的取值范围为，即；2、设满足约束条件，则取值范围是（ ） 答案 B练习1、若实数x、y满足则的取值范围是 （ ）A.(
4、0,1) B. C.(1,+) D.解、选C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，表示平面区域内的动点与原点之间连线的斜率，由图易知，选C.评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定的最小值无限趋近于1.四. “平面区域的面积”型考题1.【2012年高考重庆卷 理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为A B C D 解1、选；【解析】由对称性：围成的面积与围成的面积相等，得：所表示的平面图形的面积为围成的面积既2.（2007年高考江苏卷
5、理10）在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为 （ ）A B C D解2、选B；【解析】令，则，代入集合A，易得，其所对应的平面区域如图阴影部分，则平面区域的面积为211，选B.3.（2008年高考安徽卷 理15） 若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 .解3、答案；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，其中： .当从2连续变化到1时，动直线扫过的平面区域即为与之间的平面区域，则动直线扫过中的那部分平面区域的面积即为四边形的面积，由图易知，其面积为：.练习1.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（
6、A） （B） （C） （D） 高AxDyCOy=kx+解1、选A； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知， ，选A. 2.若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于_.解2、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有成立，只须平面区域顶点的坐标都满足不等式，易得所以所形成的平面区域的面积等于1.评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力
7、、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.五. “求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.1.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 解1、选D；【解析】 作出不等式组所围成的平面区域. 如图所示，由题意可知，公共区域的面积为2；|AC|=4，点C的坐标为（1，4）代入得a=3，故选D. 点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程中含有参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系
8、，就会明确可变形为的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解. 2.【2012年高考福建卷 理9】若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D2解2、选B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所以，若直线上存在点满足约束条件，则，即。3.设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）A1，3 B2， C2，9 D，9解3、选C；【解析】区域是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中，使函数的图象过区域,由图
9、易知，只须区域M的顶点不位于函数图象的同侧，即不等式(a0，a1)恒成立，即评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.练习：1.设为实数，若，则的取值范围是_.解1、答案；【解析】 如图10，直线，由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线应位于直线与轴之间（包括直线及轴），即，所以的取值范围是.评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置、轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.2.（2010年高
10、考浙江卷 理7） 若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ ）A B C 1 D 2解2、选C；【思路点拨】画出平面区域，利用的最大值为9，确定区域的边界【规范解答】选C令，则，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距当z最大值为9时， 过点A，因此过点A，所以六. “求目标函数中的参数”型考题1.（2009年高考陕西卷 理11）若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 （ ）A（，2） B（，2） C D 解1、选B；【解析】如图，阴影部分ABC为题设约束条件所对应的可行域，其中A(1，0)，目标函数对应直线，直线的斜率为，在y轴上的截距为. 目标函数恰好
11、在点(1，0)处取得最小值，直线落在的直线xy =1按逆时针方向旋转到直线2xy =2的位置所扫过的区域，根据直线倾斜角与直线斜率的关系，可得12，解得41，在约束条件目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为A B C（1，3） D解、选A；【解析】在平面直角坐标系中作出直线，再作出直线y (m1)，由图可知目标函数z=x+my在点（，）处取得最大值，由已知可解m.2、（2010年高考安徽卷 理13）设满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为_.解2、答案4； 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，由图易知，目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立.所以的最小值为4.综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.第 1 页 共 8 页
