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1、 精品资料第1讲向量的线性运算基础巩固来源:1.给出以下命题:若两个非零向量a,b,使得a=b(R),那么ab;若两个非零向量ab,则a=b(R);若R,则aa;若,R,则(+)a与a共线.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:ab(b0)存在实数使得a=b,故正确.2.下列等式:0-a=-a;-(-a)=a;a+(-a)=0;a+0=a;a-b=a+(-b).正确的个数是()A.2B.3C.4D.5答案:C解析:a+(-a)=0,故错.3.若a+b+c=0,则a,b,c()A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B.一定不可能构成三角形C.都是非零向量时能构成三角形
2、D.一定可构成三角形答案:A解析:当a,b,c为非零向量且不共线时可构成三角形,而当a,b,c为非零向量共线时不能构成三角形.4.在四边形ABCD中,且|=|,则这个四边形是()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案:C解析:,.ABCD,且DCAB,又|=|,四边形ABCD为等腰梯形.5.在平行四边形ABCD中,等于()A.B.C.D.答案:D解析:.6.在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,=+,则+的值为()A.B.C.D.1答案:A解析:=2=2(+)=2+2.M,B,C共线,2+2=1,即+=.7.已知=a,=b,=,则=.答案:a+b解析:=)=a+(b-a)=
3、a+b.8.若2(b+c-3x)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量x=.答案:a-b+c解析:2x-a-b-c+x+b=0,故x=a-b+c.9.设a,b是两个不共线向量,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,求实数p的值.解:=2a-b,又A,B,D三点共线,存在实数,使=,即p=-1.10.在ABC中,AB=5,AC=5,BC=6,内角平分线交点为O,若=+,求与的和.解:如图,AB=AC,可知D为BC的中点,由角平分线定理知,故,于是)=.从而=,=.故+=.11.(1)若a,b都是非零向量,在什么条件下向量a+b与a-b共线?(2)已知两个非零向量e1和
4、e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求证:A,B,D三点共线.解: (1)a,b都是非零向量,a+b与a-b中至少有一个不为零向量,不妨设a+b0,则由a+b与a-b共线知存在实数,使a-b=(a+b),即(1-)a=(1+)b.a0,且b0,1.从而b=a,故ab.综上,可知当ab时,a+b与a-b共线.(2)证明=(2e1+3e2)+(6e1+23e2)+(4e1-8e2)=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,共线.来源:又有共同的起点A,A,B,D三点共线.拓展延伸12.如图所示,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.(1)用a,b表示向量;(2)求证:B,E,F三点共线.解: (1)延长AD到G,使,连接BG,CG,得到ABGC,来源:所以=a+b,来源:(a+b),(a+b),b,(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).来源:(2)证明由(1)可知,又有公共点B,所以B,E,F三点共线.
