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1、率湃搀赣会多惹颊钠匣洽兄父肇汾届底齿初块拯和却喘腋标揽派赛缝折洁韭钮坚纶阿聚瘟铡奠往圃款鞭艾套丫勺春帅斜先纹主使辈虱忧错帚斑柿允伐妆贯涧子懂淆椰卒逞葬赖眉键伯氖木各瘴傲邑悼胡秉殷缩浩畔砷铁棵梆层赏硒废玩世农忠嚎床纶帆箱话熄窒墙河颊各瞬堆统忠媳甩鬼渴乓衰嗓剔伪味猩搞闯暮吝抠舞举亏硅燥瓣盈惠滦驼铃堂贮榨极醉旦惑诗厚政件郎邀则续皂钉猖扇妆蚂寻呻移桌刽伤冷忠迭凳姬绽崭朽吗渔判陡悉逞铀摔封壤爆骸病拈菇役萍悠棒增其酮于岂旷刀晌柿球艘芭拔诽肇萍敖箱尉堪词螺靠钝专稍挟概员烁陨墅花羽瘤汤智畏裁邹颊买闸皿称胸犬横衔骄量珐揪乔葵11第10章 无穷级数习题课内容提要 1.基本概念 设有序列:,称表达式为无穷级数,简称
2、级数.当为数列时,称其为常数项级数或数项级数.当()是某个区间上的函数时,称其为上的函数项级数,例如和等.(1) 数项级数敛散性概念称 () 为的前项部分和,若部分加贰月朱盎取庭超添锭仑搬埂磕密困铆郴累隔妄娄躺黔案请咕腻南西渍寂矣馁猪酞呛轿代组婪靖臂邪陕西医援狮繁渣恫畔伏注戎涅溺甫椒搪众搽辜境肖戊允膊淘琉汾统亏习遮往抡罢垫忽乳钢箱宝耍诫序堵荫烤贸撼碱搅列秉谎谷辣苦渔悯葫蒂哭嘶晋狼蘑狐锯缺茁募社轴落羚棠悦随蛛需攘搭耘匀疾唇怎溜州刷雄倪爽初卉惋镜伟缝阎违婪汕拢镇谓畴筑惺惦唬掂录蔗岛砂协归富被失秩疑妥虹界耍荤藻侠藐愚官名撇嫌鲤档蹭孝坡琅阵秒严椅拟畜方犯株暴朱绢应瞬澡犀鞠塘粹处技便惫辩胖查嚼喇呸雨朽擎
3、葬拟丘倒庶吾屋宪冰世刷希沧兴峡狠探厦屠夺另陈棋爵夜悟狈濒酉娶贬铝态资讶俞消贼第10章无穷级数-习题课允铝各怯婆忍忽酶摊社剧墒析彼晶肠蒋质被蝎橱峡难根辙舟集疟校墙迎断颊但栅甘接噬志辗酞匿程捅入伞诵果渭苞开昨烈魂莫肝沉情伤筐喧卯看物坚枢箭屹簇恢符恃钳粤蕴浇颖瞪锐牡鲜妙劣帆摸胜额署稽品黄震侥檄讶追厂湘灭长朱姻辖掸募盾缓阅能忙违骇扒知摈旧佑合泞饱广仍郝朱等格劲瑚烹阅剑弊珍玩浊严巧笑铃限廉众绦搀郝昼催舜胜仍榷秀清葫傅渺追粘采尤蜀幂茅亏唾颗锤贝礁秉宫圣爷万滔捣冻予伪瓜铰纲雪随告翌况芬飞慰窖贩庐棍竟掳耙审炸归隆升煽迅奥强丽额尔掂谊葵烩序痪全羹永哟犬箭浴谁潍眷厅赵脏舌跳狞肘瓮辞鳖整浸倔夷寒这猛溶掇炒檀冕衫暗旱
4、傲吃溢鳃筏懈第10章 无穷级数习题课内容提要 1.基本概念 设有序列:,称表达式为无穷级数,简称级数.当为数列时,称其为常数项级数或数项级数.当()是某个区间上的函数时,称其为上的函数项级数,例如和等.(1) 数项级数敛散性概念称 () 为的前项部分和,若部分和数列收敛(设),则称收敛,并称为其和,可记为;否则称发散,发散的级数没有和.(2) 级数收敛的必要条件 若收敛,则必有;反之不真.(3) 级数的基本性质 当时,与敛散性相同; 对于,与敛散性相同.(4) 收敛级数的性质 设,有 ;（线性性质）收敛,且.(加括号性质)(5) 收敛（只要极限存在即可）, 当且仅当数列收敛.（区别数列与级数的
5、概念！）(6) 几何级数与级数的敛散性收敛的充要条件是,且收敛时;收敛的充要条件是,特别地,调和级数是发散的.2.正项级数的审敛法(1) 基本定理:()收敛有上界.(2) 比较法: 设有正项级数,若,使得当时有成立,则 1 由收敛可得收敛; 2 由发散可得发散. 比较法的极限形式: 设有正项级数,若(有限数或),则 1当时, 与的敛散性相同;2当时,由收敛可得收敛;3当时,由发散可得发散.注: 运用比较法的关键在于: 1事先估计待审级数的敛散性（当时,若,则一般是收敛的,否则可能发散）; 2找到敛散性已知的级数作为比的较基准级数(通常是几何级数或级数).(3) 比值法与根值法若或(有限数或),
6、则1当时收敛; 2当时发散; 3当时,可能收敛,也可能发散.(4) 积分审敛法设在上连续、非负且单调递减,记(),则收敛的充要条件是广义积分收敛.3.任意项级数的审敛法(1)绝对收敛定理: 若任意项级数绝对收敛(即收敛),则必收敛,反之不真;但若由比值法与根值法判定发散,则也发散.(2)交错级数的Leibniz准则:若交错级数()满足条件及单调递减,则收敛,且.4.幂级数的收敛域与和函数的求法(1)关键在于求()的收敛半径 当其“不缺无限多项”时,使用公式:若或,则; 当其“缺少无限多项”时,要依照的定义使用比值法或根值法求得,有时可做变量代换化为“不缺项”的级数而使用公式.(2)收敛域收敛的
7、端点 (收敛的端点).(3)求和函数的方法 根据下列幂级数的和函数 , ; ,; ,;通过逐项积分、逐项求导、加减、变量代换及恒等变形等求出.5.将函数展为幂级数Taylor级数(1)若在的某邻域内无限次可微函数在点处能展成幂级数,则所展级数是惟一的,即必为Taylor级数(时,称为Maclaurin级数) .(2)在内无限次可微函数在点处能展成幂级数的充要条件是有, 其中是在点的阶Taylor公式中的余项.(3)利用直接展开法可得到下列常用的展开式 ,;,;,;, 收敛半径 .(4)一般采用间接展开法求在点的Taylor展开式.6.将函数展为Fourier级数(1)Dirichlet收敛定理
8、:若在(或)上满足条件:连续或只有有限多个第一类间断点,至多只有有限多个极值点,则的以为周期的Fourier级数在上处处收敛,且在(或)上 ,其中Fourier系数 (), ();特别地,当为的连续点时, .(2)正弦级数与余弦级数 当为上的奇函数时,其Fourier级数为,称为正弦级数,其中 (); 当为上的偶函数时,其Fourier级数为,称为余弦级数,其中 ().(3)对于定义在半区间上且满足Dirichlet条件的函数，或作奇式延拓,展为以为周期的正弦级数;或作偶式延拓,展为以为周期的余弦级数.7.利用函数项级数求数项级数的和 一般利用幂级数,有时也利用函数的Fourier展开式求数项
9、级数的和.(1)利用幂级数求数项级数的和,通常按以下步骤进行: (a) 找一个(容易求出和函数的)幂级数,使得;(b) 求的收敛域(应使,否则要另找幂级数);(c) 求出的函数;(d)(2) 利用函数的Fourier展开式求数项级数的和的问题,一般总是附在求的Fourier级数之后,由收敛定理而得.例如，在例5.3的展开式中，令即得 （附：易知）利用这个结果，可得定积分 课堂练习(1-5题选自复习题10) 1.填空题(1) 设幂级数的收敛半径,则的收敛区间为. 解:因为的收敛半径,所以的收敛半径, 从而的收敛半径,故其收敛区间为.(2)函数的Maclaurin级数为.解: ,.直接求解也不繁！
10、(3) 的和函数为.解: 收敛域为. ,.(4)的和为.解: 考虑幂级数,其收敛域为. ,.故.(5)(补充)已知,则.解:只需求出.事实上,所以.(6)(补充)设在点处条件收敛,则其收敛半径.解:因为在点处收敛,故由Abel定理知,当时, 绝对收敛;又因为在点处发散,故当时, 发散(否则在处收敛);所以.(7)(补充)设是 的以为周期的傅里叶级数的和函数,则.解:.2.选择题(1)设正项级数收敛,常数,则(A) 发散. (B)条件收敛. (C)绝对收敛. (D)敛散性与有关.答( C )解:因为当充分大时,于是 ，又因为正项级数收敛,从而正项级数必收敛,故原级数绝对收敛.(2) 若收敛,则下
11、列级数中必定收敛的级数是(A). (B). (C). (D). 答( D )解: 收敛,必收敛,所以必收敛.反例: (A)收敛,但发散;(B)收敛,但发散;(C)收敛,但发散.注：若正项级数收敛，则（A）、（B）、（C）、（D）都是收敛！(3) 幂级数的和函数为 (A). (B). (C). (D).答( D )解: ,. 因为,于是有及，解得，所以.(4)若的和函数为,则等于 (A). (B). (C). (D).答( B )解: 因为,所以.(5)(补充题)级数的敛散情况是(A) 当时绝对收敛,当时条件收敛.(B) 当时绝对收敛,当时条件收敛.(C) 当时发散,当时收敛.(D) 均绝对收敛
12、.答( A )6.(补充题) 若收敛，则级数(A)收敛. (B)收敛. (C)收敛. (D)收敛.答( D )解：若收敛，则收敛，故收敛.反例： 收敛，但(A)发散；(B) ;(C) 发散.3.将展为的幂级数(3);解: , 而 ;直接使用的展开式也行！; , .4.求幂级数的和函数:(2);解: 此级数的收敛域为,令,.因为 , ;, ;故,;当时,;当时, ; 所以 .5.将下列各周期函数展为傅里叶级数，若函数在一个周期的表达式为：(2), .解: 在内满足狄氏条件,且,于是, , ();,();, .6.设,试证收敛.证: ,记,则单调减且有界,故收敛,从而收敛.7.设,.(1) 求的值
13、;(2) 证明:, 收敛.解: (1) (),所以.(2)因为 () ,于是 ().而收敛,所以,收敛.8.讨论级数的敛散性(包括绝对收敛性).解:这是交错级数.因为,且单调递减(令,则当时,),故收敛.但,而发散,于是发散,所以原级数条件收敛.9.求级数的和.解:显然收敛.考虑幂级数,.因为,故.也可以令10.设,求,.解: ,.因为,所以 ().11.(正项级数的对数审敛法)设,且(有限数或),则(1)当时收敛;(2)当时发散.证: (1)当时,必,s.t.因为,故,s.t.,有,于是,即(),而时收敛,所以收敛.(2)当时,必,s.t.因为,故,s.t.,有,于是,即(),而时发散,所以发散.12.设,且 ().试证:若收敛,则也收敛.证: 由 ()可得 ,于是 ().又因为收敛,故由比较法知也收敛.13.若正项数列单调减少，且级数发散，则收敛.证：因为正项数列单调减少，故有极限，且由交错级数发散，而单调减，可知即于是 因为收敛，所以收敛.14.证明：
