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1、【教材习题及解答】4-1 【答】所谓根轨迹，是指系统开环传递函数的某一参量从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化而形成的轨迹。根轨迹反映了闭环系统特征根在s平面上的位置以及变化情况，所以应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。4-2【答】运用相角条件可以确定s平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点所对应的参数值。4-3【答】考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数
2、根轨迹、正反馈系统根轨迹和零度根轨迹等。绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式的等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程1G(s)H(s)=0与负反馈系统的闭环特征方程1+G(s)H(s)=0存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（p+2kp）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（0+2kp）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则，如实轴上的根轨迹，根轨迹
3、渐近线与实轴的夹角，根轨迹出射角与入射角等，都要变p+2kp角度为0+2kp。4-4【答】由于开环零极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。一般来说，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。4-5 【解】(1) 将代入系统的开环传递函数有：，满足根轨迹的
4、相角条件，故是该根轨迹上的点。当点在根轨迹上时，有。即于是，可得。(2) 系统的特征方程为，由劳斯表易得使闭环系统稳定的K*值的范围为-8 K* 90。4-6【答案】(a) (b) (c) (d)(e) (f) (g) (h)图4-10 开环传递函数根轨迹图4-7 【解】(1) ，绘制步骤如下：1) 该系统有3个开环极点，无开环零点，分别为p1-0.2，p2-0.5，p3-1。2) 系统有3条根轨迹分支，均趋向于无穷远处。3) 实轴上(-,-1和-0.5,-0.2区域为根轨迹。4) 由于n-m3，故系统有3条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：5) 确定根轨迹的分离点。根据开环传递函数表达式
5、，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s2在根轨迹-0.5, -0.2上，故取分离点坐标为。6) 确定根轨迹与虚轴的交点。由系统的开环传递函数，可得对应的闭环特征方程为将sj代入上式，整理得到分别令上式中的实部和虚部为零，即解得0.89，K*1.26。系统的完整根轨迹如图4-11所示。图4-11 题4-7(1)系统的根轨迹图(2) ，绘制步骤如下：1) 该系统有2个开环极点，1个开环零点，分别为p1,2-1j3，z1-2。2) 系统有2条根轨迹分支，一条终止于有限开环零点z1-2，另一条趋向于无穷远处。3) 实轴上(-,-2区域为根轨迹。4) 由于n-m1，故系统只有1条根轨迹渐近线
6、，其倾角和起点坐标分别为：5) 确定根轨迹的分离点或会合点。根据开环传递函数表达式，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s1在根轨迹(-,-2上，故取分离点坐标为。6) 确定根轨迹的出射角。由零、极点分布位置及出射角计算公式，得到点p1处的出射角为根据对称性，点p2处的出射角为-161.57。系统的完整根轨迹如图4-12所示。图4-12 题4-7(2)系统的根轨迹图(3) ，绘制步骤如下：1) 该系统有3个开环极点，1个开环零点，分别为p10，p2-2，p3-3，z1-5。2) 系统有3条根轨迹分支，其中一条终止于有限开环零点z1-5处，另两条则趋向于无穷远处。3) 实轴上-5,-3
7、和-2,0区域为根轨迹。4) 由于n-m2，故系统有2条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：5) 确定根轨迹的分离点。根据开环传递函数表达式，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s3在根轨迹-2,0上，故取分离点坐标为。系统的完整根轨迹如图4-13所示。图4-13 题4-7(3)系统的根轨迹图4-8【证】设s为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有然后，将sj代入上式，得到即移项，得对上式两边取正切，可得整理可得可见，这是一个以（-6,0）为圆心，以为半径的圆方程。即证明该系统的复数根轨迹部分为一圆，其圆心坐标为（-6,0），半径为。4-9【解】K*1时，系统的闭环特征方程为即则
8、以T为参变量时的等效开环传递函数为以下绘制以T为参变量时的系统根轨迹：1) 等效开环传递函数有3个开环极点，无开环零点，即p10，p2,3-1。2) 新系统具有3条根轨迹，均终止于无穷远处。3) 实轴上的(-,-1和-1,0均为根轨迹区域。4) 新系统有3条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为和，交点为5) 根轨迹的分离点根据等效开环传递函数的表达式，有，于是解得s1-1，s2-1/3。显然，分离点坐标为d-1/3。6) 根轨迹与虚轴的交点以T为参变量时，系统的闭环特征方程为将sj代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到求解上述方程组，得到解为根据以上信息，绘制的根轨迹如图4-14所示。图4-
9、14 题4-9的参数根轨迹4-10图4-15 题4-10的系统结构图【解】系统的开环传递函数为系统的闭环特征方程为则以为参变量时的等效开环传递函数为以下绘制以为参变量时的系统根轨迹：1) 等效开环传递函数有2个开环极点和1个开环零点，即p1,2-1j3，z10。2) 新系统具有2条根轨迹，一条终止于z10，另一条终止于无穷远处。3) 实轴上的(-,0为根轨迹区域。4) 新系统有2条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为和，交点为5) 根轨迹的汇合点根据等效开环传递函数的表达式，有，于是解得。显然，汇合点坐标为d-3.16。6) 根轨迹的出射角， 根据以上信息，绘制的参数根轨迹如图4-16所示。
10、图4-16 题4-10的系统根轨迹4-11【解】（1）确定满足条件的极点容许区域。由题意，及关系式，可得。根据，可得阻尼角。又由，及（为极点实部），可知。因此，极点容许区域如图4-17中的阴影区所示。图4-17 极点容许区域（2）确定根轨迹与容许区域边界交点处的K*值。用幅值条件不难确定实轴根轨迹与垂线s=-0.4375交点处的K*值为0.684；复平面上根轨迹与扇形区边界交点1j1.046处的K*值为2.094，故满足条件的K*值范围为0.684 K* 2.0944-12 【解】（1）由于已知开环传递函数是由两个有限极点和一个有限零点组成的，故该系统根轨迹的复数部分为一圆，其中圆心在有限零点
11、z1-6处，半径为有限零点到分离点（会合点）的距离。由开环传递函数知：，。代入方程，整理得到：。解得s1-1.76，s2-10.24。由图可知，s1为分离点坐标，s2为会合点坐标。系统的根轨迹如图4-18所示。图4-18 题4-12系统增加开环零点后的根轨迹图（2）根据幅值条件，可知：分离点s1-1.76对应的开环根轨迹增益为会合点s2-10.24对应的开环根轨迹增益为由根轨迹图可知，当0K*0.515时，系统有两个相异的负实根，此时系统处于过阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程；当0.515K*17.485时，系统有一对负实部的共轭复根，此时系统处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程；当K
12、*17.485时，系统又具有两个相异的负实根，系统回到过阻尼状态；当K*0.515或17.485时，系统有两个相等的负实根，此时系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程，响应速度较过阻尼状态快。（3）过坐标原点作根轨迹圆的切线，切点为A，如图4-18所示。由关系式可知，该切线与负实轴夹角的余弦就是所要求的系统最小阻尼比，此时相应的A点坐标为-3+3j。根据对称性，系统最小阻尼比所对应的闭环极点为-33j。由幅值条件易知，A点处的开环根轨迹增益为因此，系统的闭环传递函数为单位阶跃输入时，有，因此，系统阶跃响应的拉氏变换为对上式求拉氏反变换，得到图4-19为该系统的单位阶跃响应曲线。由图可见
13、，在系统最小阻尼比时，系统的单位阶跃响应具有较好的平稳性和快速性。图4-19 题4-12系统的单位阶跃响应曲线4-13 【解】（1）具体绘制步骤省略，得到的根轨迹如图4-20所示。图4-20 题4-13系统的根轨迹图（2）经计算根轨迹在实轴上的分离点坐标为d-0.423，根轨迹与虚轴的交点为，对应的临界开环根轨迹增益为K*6。当系统动态过程为衰减振荡形式时，说明系统处于欠阻尼工作状态，此时系统有一对负实部的共轭复数极点。从根轨迹图4-20可以看出，当闭环极点位于从分离点到虚轴交点之间的根轨迹时，系统处于欠阻尼工作状态。因此，只要求出分离点及虚轴交点处对应的开环根轨迹增益，就能得到满足题意的K*
14、值范围。由幅值条件，可得分离点d处对应的开环根轨迹增益为因此，当0.385 K*6时，系统动态过程为衰减振荡形式。（3）显然，当K*6时，系统响应呈等幅振荡形式，对应的振荡频率为。（4）由题意，时，阻尼角。过坐标原点作两条与负实轴成60的射线，与根轨迹交于A、B两点，这两点即为系统的闭环主导极点。于是，A、B两点的坐标为。由于系统的nm2，因此闭环极点之和应等于开环极点之和，即由此可得第三个闭环极点为根据幅值条件，这三个闭环极点对应的开环根轨迹增益为由此可得系统的闭环传递函数为由于离虚轴的距离是离虚轴距离的7倍多，所以是系统的闭环主导极点。于是，可将此时的三阶系统，即时的闭环系统近似为二阶系统来处理。简化后系统的闭环传递函数为由此可得，。单位阶跃信号作用下的性能指标为由系统的开环传递函数知该系统为I型系统，故其静态速度误差系数为因此，系统在单位斜坡输入下的稳态误差为4-14【解】（1）正反馈系统的根轨迹（此时应按零度根轨迹规则绘制）1) 该系统有4个开环极点和1个开环零点，即p1,20，p3-2和p4-4，z1-
