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1、-密封线-密封线-密封线-学院 专业班 学号 姓名 -装订线-装订线-装订线-天津工业大学（20092010学年第一学期）数学物理方法(A)试卷解答(2009.12 理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 满分3042208总分复核题目一二三四得分评阅人满分30得分一.填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 的指数式为： ；三角形式为： .2. 以复数 为圆心，以任意小正实数 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为点的 邻域 .3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系
2、？).4. 给出矢量场旋度的散度值，即 0 .5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .6. 若函数在某点不可导，而在的任意小邻域内除外处处可导，则称为的 孤立奇点 .7. 函数的挑选性为 .8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 .9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 .10. 写出阶勒让德方程: .满分42得分二. 计算题(每小题7分，共6小题)1. 已知解析函数的实部，求该解析函数().解： ，. , 是调和函数. 2分利用柯西-黎曼条件 , 即，,， 2分于是， . 2
3、分所以，. 1分2. 给出如图所示弦振动问题在点处的衔接条件.解：, 2分, 2分又因为 , , 2分所以， . 1分3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.解：三维输运方程为 (1分)分离时间变数和空间变数,以 (2分)上式代入方程,得 (1分)令上式等于同一常数, (2分)则得骇姆霍兹方程为 (1分)4. 在邻域把展开(不是整数).解：先计算展开系数：， ； ； ； 5分 , 所以，在邻域上的泰勒级数为 . 2分 5. 计算.解： 因为(为整数，包括零)，有，因此，是极点.但是，在圆内的极点只有.又由于 1分 ， 2分 ， 2分所以， . 2分6. 求拉氏变换,为常数.解: , 2分 2分
4、 2分 1分满分20得分 三. 计算题求解两端固定均匀弦的定解问题 ， ，.解: 设此问题的解为 代入方程和初始条件，得 ， ，可得， ， ，令， 所以， ，(本征值问题) 下面先求解本征值问题：当时， ， 由初始条件，得 ，因此，解无意义.当时， ，同样由初始条件，得 ，因此，解无意义.当时， ，由初始条件，得 ，所以，即， (为正整数)，因此本征值为： 本征函数为：， 为任意常数. 10分方程的解为：，因此， ，此问题的通解为：，代入初始条件得 ， ，所以， ， . 10分 满分8得分四. 简答题给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.解： 泊松方程为： 3分 令 ，取唯一特解， 2分 则 2分然后求解拉氏方程 得。 1分
