《高中数学导数在研究函数中的应用同步练习4新人教A版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学导数在研究函数中的应用同步练习4新人教A版选修22（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数及其应用高考题第1题. 2020海南、宁夏文)设函数（）讨论的单调性；（）求在区间的最大值和最小值答案：解：的定义域为（）当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少（）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为第2题. （2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）答案：第3题. （2020海南、宁夏理）设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于答案：解：（），依题意有，故从而的定义域为当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别
2、式（）若，即，在的定义域内，故无极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而在的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为第4题. （2020湖南理）函数在区间上的最小值是 答案：第5题. (2020湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式答案：解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有
3、一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即又由，得故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则所以又由，得，故第6题. (2020江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_答案：第7题. (2020江西理)设在内单调递增，则是的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要
4、条件答案：B第8题. （全国卷I理）设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围答案：解：（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是第9题. (2020全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）答案：A第10题. (2020全国I文)设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围答案：（），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取
5、得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为第11题. (2020全国II理)已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：答案：解：（1）求函数的导数：曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即
6、第12题. (2020陕西理)设函数，其中为实数（I）若的定义域为，求的取值范围；（II）当的定义域为时，求的单调减区间答案：解：（）的定义域为，恒成立，即当时的定义域为（），令，得由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为第13题. (2020浙江理)设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立答案：（I）解：由，得因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得当时，当时，所以在内的最小值是故当时，
7、对任意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得当时，当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（ii）方法一：由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数成立下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，又因为，不等式成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立第14题. (2020湖北理)已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值
8、；（II）求证：（）答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，第15题. (2020安徽文)设函数，其中，将的最小值记为（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值答案：解：（I）我们有 由于，故当时，达到其最小值，即 （II）我们有列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为第16题.
9、 设，（）令，讨论在内的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有答案： （）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有第17题. (2020天津理)已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值答案：（）解：当时，又，所以，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值
10、，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且第18题. (2020天津理)已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值答案：（）解：当时，又，所以，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在
11、区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且第19题. (2020福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值答案： 解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（） 令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时，（2）当即时，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每
12、件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）第20题. (2020广东文)函数的单调递增区间是答案：第21题. (2020广东文)已知函数，是方程的两个根，是的导数设，（1）求的值；（2）已知对任意的正整数有，记求数列的前项和答案：解：(1) 由 得 (2) 又 数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列； 第22题. (2020山东理)设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立答案：解：（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，时，随的变化情况如下表：
