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1、人教版高二上数学教案全册第六章 不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的根本性质。过程：一、引入新课1世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个及不等式有关的名称 例略1“同向不等式及异向不等式 2“绝对不等式及矛盾不等式三、不等式的一个等价关系充要条件1从实数及数轴上的点一一对应谈起2应用：例一 比拟及的大小解：取差- 例二 0, 比拟及的大小解：取差- 从而小结：步骤：作差变形判断结论例三 比拟大小1和解： 2和 解：取差- 当时；当时=；当时 3设且，比拟及的大小解：
2、当时；当时四、不等式的性质1性质1：如果，那么；如果，那么对称性证： 由正数的相反数是负数 2性质2：如果， 那么传递性证：， ，两个正数的和仍是正数 由对称性、性质2可以表示为如果且那么五、小结：1不等式的概念 2一个充要条件 3性质1、2六、作业：P5练习 P8 习题6.1 13补充题：1假设，比拟及的大小解： -= 2比拟2sinq及sin2q的大小(0q2p)略解：2sinq-sin2q=2sinq(1-cosq)当q(0,p)时2sinq(1-cosq)0 2sinqsin2q当q(p,2p)时2sinq(1-cosq)0 2sinq当时 总有第二教时教材：不等式根本性质续完目的：继
3、续学习不等式的根本性质，并能用前面的性质进展论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的根本概念，充要条件，根本性质1、2二、1性质3：如果，那么 加法单调性反之亦然证： 从而可得移项法那么：推论：如果且，那么 相加法那么证：推论：如果且，那么 相减法那么证： 或证： 上式0 2性质4：如果且, 那么；如果且那么 乘法单调性证： 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论1 如果且，那么相乘法那么证：推论1补充如果且，那么相除法那么证： 推论2 如果, 那么 3性质5：如果，那么 证：反证法假设那么：假设这都及矛盾 三、小结：五个性质及其推论口答P8 练习1
4、、2 习题6.1 4四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题或作业1，求证：证：2假设，求不等式同时成立的条件解：3设， 求证证： 又 0 4 比拟及的大小解：- 当时即当时即5假设 求证：解： 6假设 求证：证： p1 又 原式成立第三教时教材：算术平均数及几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数及几何平均数的意义，并掌握“平均不等式及其推导过程。过程：一、 定理：如果，那么当且仅当时取“= 证明： 1指出定理适用范围：2强调取“=的条件二、定理：如果是正数，那么当且仅当时取“=证明： 即： 当且仅当时 注意：1这个定理适用的范围： 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们
5、的几何平均数。三、推广： 定理：如果，那么当且仅当时取“=证明： 上式0 从而指出：这里 就不能保证 推论：如果，那么 当且仅当时取“= 证明： 四、关于“平均数的概念1如果 那么：叫做这n个正数的算术平均数叫做这n个正数的几何平均数2点题：算术平均数及几何平均数3根本不等式： 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明这里从略语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4的几何解释：ABDDCab以为直径作圆，在直径AB上取一点C， 过C作弦DDAB 那么 从而而半径五、例一 为两两不相等的实数，求证：证： 以上三式相加：六、小结：算术平均数、几何平均数的概念根本不等式即平均不等式
6、七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1-3补充：1，分别求的范围 (8,11) (3,6) (2,4)2试比拟 及作差3求证：证： 三式相加化简即得第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的根底上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：一、复习：算术平均数及几何平均数定义，平均不等式二、 假设，设 求证： 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：即：俗称幂平均不等式由平均不等式即：综上所述：例一、假设 求证证：由幂平均不等式：三、 极值定理 都是正数，求证：1 如果积是定值，那么当时和有最小值2 如果和是定值，那么当时积有最大值证： 1当 (定值)时， 上式当
7、时取“= 当时有2当 (定值)时， 上式当时取“= 当时有注意强调：1最值的含义“取最小值，“取最大值 2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正、二“定、三“相等四、 例题1证明以下各题：证： 于是假设上题改成，结果将如何？解： 于是从而假设 那么解：假设那么显然有假设异号或一个为0那么 2求函数的最大值求函数的最大值解： 当即时 即时 当时 3假设，那么为何值时有最小值，最小值为几？解： 当且仅当即时五、 小结：1四大平均值之间的关系及其证明 2极值定理及三要素六、 作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6补充：以下函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？1 时2 3时
8、第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉根本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：一、 复习：根本不等式、极值定理二、 例题：1求函数的最大值，以下解法是否正确？为什么？解一： 解二：当即时答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=，即不存在使得；解二错在不是定值常数正确的解法是：当且仅当即时2假设，求的最值解：从而 即3设且，求的最大值解： 又即4且，求的最小值解：当且仅当即时三、关于应用题1P11例即本章开头提出的问题略2将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角四个全等的正方形，作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去
9、的小正方形的边长为那么其容积为当且仅当即时取“=即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为四、 作业：P12 练习4 习题6.2 7补充：1求以下函数的最值：1 (min=6)2 () 21时求的最小值，的最小值2设，求的最大值(5)3假设, 求的最大值4假设且，求的最小值3假设，求证：的最小值为34制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？不计加工时的损耗及接缝用料第六教时教材：不等式证明一比拟法目的：以不等式的等价命题为依据，提醒不等式的常用证明方法之一比拟法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比拟法证明不等式。过程：一、 复习： 1不等式的一个等价命题2
10、比拟法之一作差法步骤：作差变形判断结论二、作差法：P13141 求证：x2 + 3 3x 证：(x2 + 3) - 3x = x2 + 3 3x2 a, b, m都是正数，并且a b，求证： 证：a,b,m都是正数，并且a 0 , b - a 0 即： 变式：假设a b，结果会怎样？假设没有“a a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b24 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，那么： 可得：S, m, n都是正数，且m n，t1 - t2 0 即：t1 b 0时， 当b a 0时， 其余局部布置作业
