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1、-法向量解立体几何专题训练一、运用法向量求空间角1、向量法求空间两条异面直线a, b所成角，只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量，则角=或-，因为是锐角，所以cos=, 不需要用法向量。2、设平面的法向量为=*, y, 1)，则直线AB和平面所成的角的正弦值为sin= cos(-) = |cos| = 3、 设二面角的两个面的法向量为，则或-是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定是所求，还是-是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点 A、B，则异面直线a、b的距离d =ABcosBAA=2、求点到面
2、的距离求A点到平面的距离，设平面的法向量法为，在内任取一点B，则A点到平面的距离为d =，的坐标由与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组类似于前面所述, 假设方程组无解，则法向量与*OY平面平行，此时可改设三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面、，两个面、的法向量为，则四、应用举例：例1：如右以下列图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 解：I以A为原点，分别为*轴，y轴,z轴的正向建立空间直
3、角坐标系，则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设法向量与平面C1DE垂直，则有II设EC1与FD1所成角为，则例2：高考辽宁卷17如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。1证明平面PED平面PAB； 2求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：1面ABCD是菱形，DAB=600，ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BDEDB=300，BDC=600，EDC=900，如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，P0，0，1
4、，E，0，0，B，0 =，-1，= ，0，-1，平面PED的一个法向量为=0，1，0 ，设平面PAB的法向量为=*, y, 1)由=, 0, 1)=0 即平面PED平面PAB2解：由1知：平面PAB的法向量为=, 0, 1), 设平面FAB的法向量为1=*, y, -1)，由1知：F0，0，=，-， = ，0，-，由1=-, 0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos= |cos| =例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小结果用反三角函数值表示；()设O
5、点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.解: ()如图建立坐标系D-ACD1, 棱长为4 A4，0，0，B4，4，0，P0，4，1 = (-4, 4, 1) , 显然=0，4，0为平面BCC1B1的一个法向量，直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值sin= |cos|=为锐角，直线AP与平面BCC1B1所成的角为arcsin() 设平面ABD1的法向量为=*, y, 1)，=0，4，0，=-4，0，4由， 得=1, 0, 1)，点P到平面ABD1的距离 d = 例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A
6、1O与B1C的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O1，1，0，A12，2，3，C0，2，0 设A1O与B1C的公共法向量为，则 A1O与B1C的距离为 d =例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B1，1，0，A11，0，1，E，1，1 设面BDFE的法向量为，则 A1到面BDFE的距离为d =新课标高二数学空间向量与立体几何测试题1一、选择题1在正三棱柱ABCA1B1C1中，假设ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为 图A60B90C105D752如图，ABCDA
7、1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是 AB图CD3如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，假设BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 ABCD4正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A BC DAA1DCBB1C1图5是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点点到平面的距离 AB C D6在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 ABC D7在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 AB C D8
8、在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G则与平面ABD所成角的余弦值 AB CD9正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小 A B C D10正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，则三棱锥的体积V AB C D二、填空题11在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离12 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离13棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离14棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1
9、中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值三、解答题15棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小16棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF平面B1MC17在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角1假设AEPD，E为垂足，求证：BEPD；2求异面直线AE与CD所成角的余弦值18棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点1求证：E、F、D、
10、B共面；2求点A1到平面的BDEF的距离；3求直线A1D与平面BDEF所成的角19正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：D1E与平面BC1D所成角的大小；二面角DBC1C的大小；异面直线B1D1与BC1之间的距离高二数学空间向量与立体几何专题训练2一、选择题1向量a(2*,1,3)，b(1，2y,9)，假设a与b共线，则()A*1，y1B*，yC*，yD*，y2a(3,2,5)，b(1，*，1)，且ab2，则*的值是()A6 B5 C4 D33设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，假设l1l2，则实数m的值为()A3 B2 C1 D.
11、4假设a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5在ABC中，c，b.假设点D满足2，则()A.bc B.cb C.bc D.bc6a，b，c是空间的一个基底，设pab，qab，则以下向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是()Aa Bb Cc D以上都不对7ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()A2 B3 C. D.8与向量a(2,3,6)共线的单位向量是()A(，) B(，)C(，)和(，) D(，)和(，)9向量a(2,4，*)，b(2，y,2
12、)，假设|a|6且ab，则*y为()A3或1 B3或1 C3 D110a(*,2,0)，b(3,2*，*2)，且a与b的夹角为钝角，则实数*的取值范围是()A*4 B*4 C0*4 D4*0.11空间四个点A(1,1,1)，B(4,0,2)，C(3，1，0)，D(1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A30 B45 C60 D9012二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25的直线的条数为()A2 B3 C4 D5二、填空题13i，j，k为单位正交基底，且aij3k，b2i3j2k，则向量ab与向量a2b的坐标分别是_；_.14在ABC中，(2
13、,4,0)，(1,3,0)，则ABC_.15正方体ABCDA1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为_16在以下命题中：假设a，b共线，则a，b所在的直线平行；假设a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；假设a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p*aybzc，其中不正确的命题为_三、解答题17如下列图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB2，PC与平面ABCD所成角是45，F是AD的中点，M是PC的中点求证：DM平面PFB.18如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在C1C上，且C1E3EC.(1)证明A1C平面BED；(
