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1、-高三数学二轮专题讲义应用篇01【2015年2月】函数与导数模型一、根底再现1外表积为的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为_解析：设圆柱的底面半径为，高为；则由题意可得：即；而；，令；易知：当时，是递增函数；当时，是递减函数；当时，取极大值也是最大值；此时，；2正方形的边长为1，过正方形中心的直线分别交正方形的边于点，则当取最小值时，_解析：设，则，；令，则；易知：当取最大值时，取最小值，即求的最小值；由根本不等式可得：当时，满足题意；从而3函数，假设对任意的实数，都存在以为边的三角形，则实数的取值围是_解析：变式：；由题意可知：对任意实数都恒成立令，则；当时，此时，构成一个等边
2、三角形；满足题意；当时，易知：，在上是增函数；，且当时，；于是，；从而有：；当时，易知：，在上是减函数；，且当时，；于是，从而有：；综合上述，典型例题讲解例1*公司生产品牌服装的年固定本钱是10万元，每生产千件，须另投入2.7万元，设该公司年共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且；1写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式；2年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？注：年利润年销售收入年总本钱解析：1当时，；当时，；2当时，由，得；又当时，是增函数；当，是减函数；当时，；当时，；当且仅当时，即时，；由知，当千件时，取最大值万元例2一个圆柱形圆木的底面
3、半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个局部现要把其中一个局部加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形如下图，其中O为圆心，在半圆上，设，木梁的体积为单位：m3，外表积为单位：m2；1求V关于的函数表达式；2求的值，使体积V最大；3问当木梁的体积V最大时，其外表积S是否也最大？请说明理由解析：1梯形的面积：，；2分体积3分2；令，得，或舍；，5分当时，为增函数；当时，为减函数7分当时，体积V最大8分3木梁的侧面积：，；，10分设，；，当，即时，最大12分又由2知时，取得最大值，时，木梁的外表积S最大13分综上，当木梁的体积V最大时，其外表积S也最大14分例3第八届中国花博
4、会将于2013年9月在举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形，；，为常数且满足组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区点、分别在线段、上，且该直角三角形的周长为；如图，设，的面积为；1求关于的函数关系式；2试确定点的位置，使得直角三角形地块的面积最大，并求出的最大值FEbaBDCA解析：1设，则，整理得：；，2；当时，在递增，故当时，；当时，在上，递增；在上，递减；故当时，例4如图，长方形物体在雨中沿面面积为的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为；移动时单位时间的淋雨量包括两局部：1或的平行面只有一个面淋雨的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；2
5、其它面的淋雨量之和，其值为；记为移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时；1写出的表达式；2设，试根据的不同取值围，确定移动速度，使总淋雨量最少解析：1由题意知，E移动时单位时间的淋雨量为：，故2由1知：当时，；当时，；故；当时，是关于的减函数；故当时，；当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，稳固与练习：省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进展调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻时的关系为：，其中是与气象有关的参数，并且，假设取每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作；1令，求的取值围；2省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市
6、中心的综合放射性污染指数是否超标？解析：1当时，；2分当时，对于函数，有；当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，综上，t的取值围是5分2当时，；8分，；，10分当且仅当时，； 12分故时不超标，时超标14分悄悄地讲的容例说函数与导数1本小题总分值16分函数为正数；1假设曲线在和处的切线互相平行，求a的值；2求的单调区间；3设，假设对任意的，均存在，使得，数a的取值围解析：；1由4分2对导数变式：；当时，在区间和上，；在区间上，；的递增区间是和，递减区间是 6分当时，的递增区间是 8分当时，在区间和上，；在区间上，的单调递增区间是和，单调递减区间是 10分3由，在(0,2上有f(*)ma*g(
7、*)ma*.(11分)由，g(*)ma*0，由(2)可知，当0a时，f(*)在(0,2上单调递增，故f(*)ma*f(2)2a2(2a1)2ln22a22ln2，2a22ln20，解得aln21，ln210，故0a.(13分)当a时，f(*)在上单调递增，在上单调递减，故f(*)ma*f22lna.由a可知lnalnln1,2lna2，2lna2，22lna0，f(*)ma*0，(15分)综上所述，a0.(16分)19. (此题总分值16分) 设函数.1假设=1时，函数取最小值，数的值；来源:学科2假设函数在定义域上是单调函数，数的取值围；3假设，证明对任意正整数，不等式都成立解:1由* +
8、10得* 1f(*)的定义域为( - 1，+ ),来源:学科网对*( - 1，+ ),都有f(*)f(1)，f(1)是函数f(*)的最小值，故有f/ (1) = 0,解得b= - 4.经检验，列表略，合题意；2又函数f(*)在定义域上是单调函数，f/ (*) 0或f/(*)0在( - 1，+ )上恒成立.假设f/ (*) 0，* + 10，2*2 +2*+b0在( - 1，+ )上恒成立,即b-2*2 -2* = 恒成立,由此得b;假设f/ (*) 0, * + 10, 2*2 +2*+b0,即b-(2*2+2*)恒成立，因-(2*2+2*) 在( - 1，+ )上没有最小值，不存在实数b使f
9、(*) 0恒成立.综上所述，实数b的取值围是.3当b= - 1时，函数f(*) = *2 - ln(*+1)，令函数h(*)=f(*) *3 = *2 ln(*+1) *3，则h/(*) = - 3*2 +2* - ，当时，h/(*)0所以函数h(*)在上是单调递减.又h(0)=0，当时，恒有h(*) h(0)=0, 即*2 ln(*+1) *3恒成立.故当时,有f(*) *3.取则有,故结论成立。20本小题总分值16分函数，其中m，a均为实数1求的极值；2设，假设对任意的，恒成立，求的最小值；3设，假设对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值围20解：1，令，得* = 1 1分列表
10、如下：*-，111，+0-g(*)极大值g(1) = 1，y =的极大值为1，无极小值 3分2当时，在恒成立，在上为增函数 4分设， 0在恒成立，在上为增函数 5分设，则等价于，即 设，则u(*)在为减函数在3，4上恒成立 6分恒成立 设，=，*3，4， 0，为减函数在3，4上的最大值为v(3) = 3 - 8分a3 -，的最小值为3 - 9分3由1知在上的值域为 10分，当时，在为减函数，不合题意 11分当时，由题意知在不单调，所以，即12分此时在上递减，在上递增，即，解得由，得 13分，成立 14分下证存在，使得1取，先证，即证设，则在时恒成立在时为增函数，成立再证1，时，命题成立 综上所
11、述，的取值围为 16分20本小题总分值16分函数.1假设a=1，求函数在区间的最大值;2求函数的单调区间；3假设恒成立，求的取值围20解：1假设a=1,则 当时,， 所以在上单调增,. 2分 2由于， 当时，则， 令，得负根舍去， 且当时，；当时， 所以在上单调减，在上单调增.4分当时，当时，, 令，得舍，假设，即,则，所以在上单调增；假设，即, 则当时，；当时，所以在区间上是单调减，在上单调增. 6分当时,令，得，记，假设，即,则，故在上单调减；假设，即, 则由得，且，当时，；当时，；当 时，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. 8分综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间是；当时,单调递减区间是，单调的递增区间是；当时,单调递减区间是(0,)和，单调的递增区间是和.
