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1、 40 数学教育研究2011年第4期构造齐次方程探究二次曲线定点问题周德昌 （山东省股州市第十一中竽 266300） 40 数学教育研究2011年第4期 40 数学教育研究2011年第4期kD-nEMN的方程二次曲线中冇关立线过定点问题可以用多种常 规方法来处理但运算址祁较大本文将在斜率表达式 为常数的8个相关定点问题的探究过程中通过构造 齐次方程来简化运算址方便地获得了相应的探究结 果通过坐标系妁平移过任意点的直线斜率问題均可 转化为过原点的斜率问题本文主要用构造齐次方程 的方法来解决讨论二次曲线中过定点的两条（或三条） 直线的斜率之积、和、倒数和为常数时，冇关直线过定 点的问题.1两条直线
2、的斜率积b爲为常数问题I:过曲线手+君=1的左顶点人的两条直 线分别与曲线交于M.N胸点AMJN斜率满足 Z =为常数），探究直线MN是否经过某定点？解：平移坐标系，只需研究：过原点O的两条艮线 分别与曲线Q謬+石=1另交于两点aoON斜率满足&怎=一并时，直线MN是否经过某定 点？不妨设应线MN的方程为，=屁+也=a2bz 构造二次齐次方程护 A好汀即曲 （丄）2a!r /n （+ 62 （m2 + 2akm） = 0,由 k k2 J*JT迪吾如2=一”，得=羊禅，从而岂线MN amcn 4 b方程为y = 一总歸），由此直线MN必过定点 / 2al/ 八 亠 2ab2_ a（a2n b2
3、）心.亠远（乔市）由石而，卄护，因此原 问題中直线MN必过定点（一驾:#,0）.例1过双曲线（ -/ = 1的右顶点A互相 垂贞的两条宜线分别与双曲线右支交于点M、N则直 线MN足否经过某定点？（类比问題1结论易得立线 MN过定点（y,0） 问题2：过原点O的两条直线与曲线y2 = 2px另 交于两点M、N且OM.ON斜率满足飢爲=一讥为 非冬恋数）探宪直线MN是否经过某定点？解：不妨设MN方程为y =辱十也（刖工0八由曲线 方程/ = 2px可构造二次齐次方? ： 2 = 2px （晋T，整理得加（于）一2 （于）+ 2惦=0,由韦 达定理得尿灼=込=一小故加乂一辺.此时yk mnG 字）.
4、从而貢线MN经过定点（%0）问题3：过原点O的两条直线分别与曲线Atz + Bq+C+Dr+Ey=O（A、C不同时为零）另交于M、N,且 OM、ON斜率满足k,k2 = - n （心一各为常数），探究MN忌否经过某定点？解：不妨设MN方程为y = kxm（mQ）.由曲线 方程A/+B巧4Cb + Ur+Ey = 0可构造二次齐次 方程 A+Bp+G/+ 6：（乂产）+ （艺产）=O.变形整理得 （c+寻）（于）？ 一 （B+罟列仔）+ （人一等） = 0,由书达定理得为y侥）一舄；，故MN经过定点2两条直线的斜率和层+嘉为常数问题4：过曲我斗+舌=1的左顶点A的两条直 a b线分别与曲线交于M
5、.N阴点且AM.AN斜率满足知 一爲为非零费数）探究直线MN是否经过某定 点？解：同前面何题1平移坐标系构造齐次方程后. 由虽+怎=繆工=几故m=.MN的方程为y = kx almat+竽.由此MN经过定点（0脊），故原直线MN必 经过定点（一。%）问题5：过原点O的柄条立线分别与曲线/ = 2另交于两点M.N且OM.ON的斜率满足妇+怂 = r（/为非零常数；探究直线MN足否经过某定点？ 解：同前面何题2构造二次齐次方程后，由韦达 定理知姑+届=经=仁故m二字苴线MN的方程为 mt严虹+字，从而知直线MN必经过定点（0 字） 问题6：过原点O的两条直线分别与曲线Ax24- Bry+C/ + Dr+Ey=0（B、C不同时为零另交于M. N且OM.ON斜率満足妇+怎=山工一咅为常数）. 探究直线MN是否经过某定点？
