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1、鱼消耗能量最小的运动方式摘 要 本文讨论了鱼在水中锯齿状运动时消耗能量的问题。基于运动过程消耗能量最小原则，对比沿水平线运动与沿折线运动两种情况下消耗能量的多少，根据物理学知识，对鱼进行受力分析，建立数学模型并求解，分析鱼沿这两种路线运动时的能量消耗，求出消耗能量最小的运动路线。利用物理学知识，对鱼在水中向上游动和向下滑行作出受力分析，并写出水平运动时的受力情况，同时考虑游动阻力和滑行阻力的倍数关系，写出力以及各个力之间的关系。沿折线运动消耗的能量为向上游动和向下滑行消耗能量之和，由受力分析图知向下滑行不消耗能量，所以沿折线运动时只在向上游动时消耗能量；沿水平游动时消耗的能量为克服阻力做功，由
2、此求出这两种运动方式消耗能量的比值。利用Matlab对比值表达式两边求偏导，得出限制条件，由题意求出当游动阻力与滑行阻力的倍数关系不同时，鱼选择消耗能量最小的运动路线。关键词 消耗能量；能量比值；运动方式；受力分析；求偏导5一、 问题重述通过鱼在水中运动方式的长期观察发现，鱼在水中的运动不是水平游动，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行，对于不同游动方式下阻力大小的影响，考虑这是鱼类选择的消耗能量最小的游动方式。对这一现象，通过以下步骤进行讨论：问题一：鱼以常速运动，在水中净重为，鱼向下滑行的阻力是在运动方向的分力，向上游动的阻力和水平方向游动的阻力是滑行阻力的倍，向上游动所需的力是在运动方
3、向分力与游动所受阻力之和，分析并写出这些力；问题二：求出沿折线运动消耗的能量与沿水平方向运动消耗的能量之比；问题三：如图1，当时，取不同的值（）时，求出使鱼运动消耗能量最小时的值。 图1 鱼运动方式二、 问题分析1. 鱼在水中运动时，会受到自身的重力、水的浮力和阻力，其中鱼所受重力与浮力的合力为鱼的净重，其游动阻力是滑行阻力的倍，分别写出沿折线运动和沿水平方向运动时所受的力；2. 鱼向上游动时，消耗的总能量是克服水的阻力和在运动方向分力所做的功；3. 鱼向下滑行时，沿鱼运动方向的分力与水的阻力大小相等，方向相反，相互抵消，因此鱼向下滑行时不消耗能量；4. 鱼沿水平方向运动时，消耗的能量为克服水
4、的阻力所做的功；5. 根据物理学知识，利用鱼沿折线运动时消耗能量与沿水平方向运动消耗能量的比值关系，取不同的值，得到使能量消耗最小的的值。三、 基本假设1. 鱼在游动过程中控制方向不消耗能量，且不考虑新陈代谢消耗的能量；2. 不考虑压强对浮力的影响，浮力为定值；3. 鱼在游动过程中匀速前进，且不受水速的影响；4. 向上游动的阻力和水平方向游动的阻力是滑行阻力的倍；5. 鱼向下滑行的阻力等于净重的分力；6. 鱼向上游动时所需的力是净重在运动方向的分力与游动所受阻力之和。四、 符号说明： 鱼运动的路程；：鱼运动消耗的能量；： 鱼在水中的速度，为常数；：鱼向下滑行时所受阻力；：鱼向上游动时所受水的阻
5、力；： 鱼向下滑行时与水平线的夹角；： 鱼向上游动时与水平线的夹角；： 鱼向上游动时折线的距离；： 鱼游动阻力与滑行阻力的倍数关系；：鱼在水中所受重力与浮力的合力，即净重；：鱼沿折线运动消耗的能量与沿水平线运动消耗的能量之比。五、 模型建立与求解由物理学知识知，鱼在水中运动所消耗的能量=鱼所受阻力运动路程，即 （1）图2 受力分析5.1 问题一：如图2观察向下滑行时沿鱼运动方向的分力与水的阻力大小相等即 向上游动时鱼所受阻力为 （2）其中 （3） （4）鱼水平游动时所受阻力为 （5）5.2 问题二：向下滑行时游动路程为，由题意知向下滑行不消耗能量因此，鱼消耗能量为 向上游动时路程为联立（1）（
6、2）（3）（4）得鱼消耗能量为水平运动时路程为联立（1）（5）得鱼消耗能量为所以鱼沿折线游动所消耗的能量为鱼沿直线游动所消耗的能量为则 （6）图3 解三角形如图3，在中，过做的垂线交于,设 （7）则 （8）联立（6）（7）（8）得 （9）5.3 问题三：利用Matlab对（9）式左右两边关于求偏导得即得 由，当时，鱼运动消耗能量最小；当时，鱼运动消耗能量最小；当时，鱼运动消耗能量最小。分析知当的值确定时，的取值不同，鱼消耗能量最小时的值不同，变化关系如图4所示：图4 随值的变化趋势图六、 模型评价与推广模型评价：优点：（1）利用物理学受力分析和能量消耗知识使模型的建立简单易懂；（2）模型假设合
7、理，鱼消耗的能量便于计算；（3）分析结果时利用函数图像，使模型结果更加直观。缺点：（1）模型假设过于理想化，忽略了鱼在游动过程中代谢能量的消耗；（2）水中不同位置的浮力大小不同，导致模型结果有一定误差。模型推广：通过对模型的分析知，不需要考虑鱼的体积、自身重量，只需考虑阻力的大小关系建立模型就可求得鱼消耗能量最小的运动路线。因此，该模型还可用于解释其他水生动物在水中沿不同路线运动时的能量消耗关系。参考文献1王连堂，数学建模，西安：陕西师范大学出版社，2008.2姜启源等, 数学模型, 北京：高等教育出版社，2003.附件1：程序代码：syms k x y M %x=,y= diff(M=(k*sin(x)+sin(y)/(k*sin(x+y),y) %对（9）式两边关于y求偏导 solve(cos(atan(1/5)+y)=2/3) %代入k=1.5值计算 solve(cos(atan(1/5)+y)=1/2) %代入k=2值计算 solve(cos(atan(1/5)+y)=1/3) %代入k=3值计算syms a b %a=k,b=a=1.5:0.01:3; %k值变化范围 b=(acos(1./a)-atan(1/5)*180/pi; %解值 plot(a,b) %画出随k变化的函数图像
