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1、二次函数专题讲解一、知识综述：1. 定义：一般地，如果 y ax2 bx c（a,b,c 是常数， a 0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数4a2. 二次函数 y ax2 bx c 用配方法可化成： y a x h 2 k的形式，其中 h b ，k 4ac b 2a3. 求抛物线的顶点、对称轴的方法1)公式法： y ax2 bx c a x b2 2 2b 4ac b2 ，顶点是（ 2ba，4ac4ab2 ），对称轴是直线2a4ax2a2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h 2 k 的形式，得到顶点为 （ h, k ） ，对称轴是直2 2 2 2 ax2 ； yax2
2、k ；y a x h 2 ； ya x h 2k ；线 x h.4. 二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： y y ax 2 bx c.它们的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2 y ax当 a 0 时 开口向上 当 a 0时 开口向下x 0 （ y 轴）（0,0）y ax2 kx 0 （ y 轴）(0, k)y a x h 2xh( h,0)y a x h 2 kxh(h,k)y ax2 bx cbx2ab 4ac b2( ， ) 2a 4a开口大小与 a成反比， a越大，开口越小； a越小，开口越大。5. 用待定系数法求二次函数的解析式1）一般式： y ax2 bx c
3、. 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式2）顶点式： y a x h 2 k. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式（ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、 x2 ，通常选用交点式： y a x x1 x x2 .6. 二次函数图象的平移左加右减（对 X），上加下减（对 Y）。二、考点分析及例题解析 考点一：二次函数的概念2例 1：如果函数 y （m 3）xm2 3m 2 mx 1是二次函数，那么 m的值为考点二：二次函数的图象例 2（2016 年广东省广州市）已知抛物线 y x2 2x 21）该抛物线的对称轴是，顶点坐标2）选取适当的数据填入下表，并在图7 的
4、直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy3）若该抛物线上两点 A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足 x1x21，试比较 y1 与 y2的大小例 3 （2016 年安徽省芜湖市 ）二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，反比例函数 y xa 与正比例函数 y（ bc）xx变式训练：A 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位例 4 （2016 年兰州市 ） 抛物线 y x bx c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，2y x 2x 3，则 b、c 的值为（ ）A . b=2 ， c=2 B. b=2 ，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3 ， c=
5、2例 5.（ 2006，大连）右图是二次函数 y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2=mx+n 的图像， ?观察图 像写出 y2y1时，x 的取值范围 B向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位C向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位D向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 考点三：确定二次函数的解析式例 4：（ 2016 年宁波市）如图，已知二次函数y12x2 bx c 的图象经过 A（2，0）、B（0，6）两点。2（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 连结 BA 、 BC，求 ABC 的面积。C，解：（1）把 A （2，0）、B（0， 6
6、）代入y1x2 bx c2得：2 2b c 0解得c6 b4c6x这个二次函数的解析式为y 1x2 4x 6242 ）该抛物线对称轴为直线x 412 （ ）2点 C 的坐标为( 4， 0) AC OC OA 4 2 2 11 S ABCAC OB 2 6 6 22变式训练 ：1、已知：函数y ax 2 bx c 的图象如图：那么函数解析式为（2A) yx22x 3B) yx2 2x 3C) yx22x 3D) y2x 2x 3考点四：最值问题例 5：矩形 ABCD的边 AB=6 cm， BC=8 cm，在 BC上取一点 P，在 CD边上取一点Q，使 APQ成直角，设 BP=x cm，CQ=yc
7、m，试以 x 为自变量，写出 y与 x 的函数关系式 .并求出 CQ的最大值。例 6 ：如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于 C 点。点A,C 的坐标分别是 （-1,0）,（0, ）2（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点 P 是抛物线上位于轴上方的一个动点，求ABP的面积的最大值。变式训练：1、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这个正方形面积之和的最小值是 cm。2、 如图，在 RtABC中， C=90， BC=4，AC=8，点 D在斜边 AB上，分别作 DE AC， DF BC，垂足分别为
8、E、F，得四边形 DECF，设 DE=x， DF=y（ 1）用含 y 的代数式表示 AE；（2）求 y 与 x之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围；（3）设四边形 DECF的面积为 S，求 S与 x 之间的函数关系，并求出 S的最大值考点五：以二次函数为基架的综合题例 7 ：某超市经销一种销售成本为每件 40 元的商品。 据市场调查分析， 如果按每件 50 元销售， 一周 能售出 500 件，若销售单价每涨 1 元，每周的销售量就减少 10 件。设销售单价为每件 x 元（x 50）,一周的销售量为 y 件。（1）写出 y与 x的函数关系式； （标明 x的取值范围）（ 2）设一周的销售利润为
9、 s，写出 s 与 x 的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，香洲随着单价的增大而增大；（3）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？变式训练：某商店经销一种销售成本为每件 40 元的商品据市场分析，若按每件 50元销售，一个月能售出 210 件；销售单价每 涨 1 元，则每个月少卖 10 件设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元。（1） 求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大的利润？最大利润是多少元？三、课堂练习
10、21已知二次函数 y a（x 1）2 b有最小值 1，则 a与 b之间的大小关系是Aa bD22（长沙）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，不能确定?则下列关系式不正确的是（A a0Ca+b+c03（2008，威海）已知二次函数2y=ax2+bx+c 的图像过点 A（1，2），B（3，2），C（ 5，7）若点 M（2，y1），N（ 1，y2），K（ 8，y3）也在二次函数 y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（ ）A y1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y3y24如图所示，抛物线的函数表达式是（）2 2 2 2A y=x 2x+2By=x2x+2C y=x
11、 2+x+2Dy=x2+x+225（，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和 y= mx 2+2x+2 （ m 是常数， ?且 m0）的图像可能是（ ）6求下列函数的最大值或最小值22（1） yx2 2x；（ 2） y 2x2 2x 17已知二次函数 y x2 6x m 的最小值为 1，求 m的值8心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：y 0.1x2 2.6x 43（0 x 30） y 值越大，表示接受能力越强（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第 10 分时，学生的接受
12、能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？9如图，有长为 24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为 10m），围成中2 间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB为 x m，面积为 S m21）求 S与 x 的函数关系式；22）如果要围成面积为 45 m2 的花圃， AB的长是多少米？3）能围成面积比 45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由10如图，矩形 ABCD中， AB=3，BC=4，线段 EF在对角线 AC上， EG AD， FHBC，垂足分别是 G、H，且 EG+FH=EF（ 1）求线段 EF的长；（2）设 EG=x， AGE与 C
13、FH的面积和为 S， 写出 S关于 x的函数关系式及自变量 x 的取值范围，并求出 S的最小值11在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面达最大高度 55 米，已知球场长 18 米，问这样发球是否会直接把球打出边线？19 米，当球飞行距离为12. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间 t （月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系） 根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间 t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？13如图，一位运动员在距篮下 4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（ 2）该运动员身高 1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
