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1、清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分2 (A)2005年6月20日姓名学号班级、选择题(每小题4分，共2 0分)1设正项级数 a收敛，则 (-1) n (a -丄)n n=1A.绝对收敛；n=1B.条件收敛;C.发散;D.不能确定82.设幂级数 an (x 2) n在点x0 =3收敛，则级数 an n=0n=0A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.不能确定3.设xn是一个数列，n, p是任意自然数.下列哪一个条件可以推出x是柯西列?A.Bl x x I 旦 n+pn n 2 ，C.I x x I1-n+p n Jn + p 5npD I x x l 0,0 0 ; C. (X 2,0
2、 1;D. (X 1,0 25.设 f (x)在0,+8)存在二阶导数，且 f (0) = 1 , f(0)0 , f(x) -c 0 (其中 c 是一个正数).则f (x)在(0,+8)的零点个数为A. 2 ;B. 1;C. 0;D. 3二、填空题(每小题4分，共2 0分)6.a xnnn=0若幂级数 a xn的收敛域为2,2)，则幂级数 a (x 1)2n的收敛域为 nn=0(1 V2,1 + 运)设 f (x) = x + 2 (n x 0x 2 n v 2nx 2n1 (1 + x 2)n1所以un (x)在0,a单调增加，在a,0单调减少于是a 2nmaxu (x) I a x a
3、= u (a) = 1.nn(1 + a2) na 2n正项级数nfe收敛，于是根据比较判别法推出n在区间一致收敛和函数在a,a连续，由于正数a的任意性，推出函数在8,+8连续。15. (8分)假设F (x)在区间a, b存在黎曼可积的导数f (x).求证f bf (x)dx = F (b) F (a), a解：由微分中值定理,F (x.) F (x ) = f (g .)(x. x )(i = 1,2,n).(其中 g . e (xx.).iz 1z z z 1zi 1 z于是F(b) F(a) = F(x.) F(x. 1) = f (g .)(x. x )zz 1z zz1z=1z=1当
4、n *时， f(g.)(x.-x.1) 7f(x)dx，所以由上式得到 z=1F(b) F(a) = fbf (x)dx .a16. (8分)假设正值函数f (x)以兀为周期，f (x)在区间0,兀黎曼可积.令f (x) sin xa =严、八丿1dx ( n =1,2,)，求证级数 a是收敛的交错级数.(n1)兀x + 1=11解：注意到f (x)sinx在n兀,(n +1)兀可积不变号，在n兀,(n +1)兀连续由推广的积x +1分中值定理得到I aI=I 戶n(n1)兀x + 1f (x) sin x11亠dx I=-丨戶f (x)sin xdx I=- 戶f (x) | sin x Idx.g +1nn由函数周期性推出I a 1=n g +10n产 f (x) sin xdx
