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1、圆锥曲线的性质一、基础知识(一)椭圆：的点的轨迹称为椭圆，其1、定义和标准方程平面上到两个定点F F2的距离和为定值(定值大于I家|)中F2称为椭圆的焦点，|家|称为椭圆的焦距2)标准方程：焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P(x,y),F1(F)F2(c)，设距离和PF + PF = 2a，则椭圆的标准方程为:1 一x2 y 2a+忌=b其中 C b 0,b2 = a2 - c2)焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P(x,y),Fi(r) F2(c)，设距离和y 2 x2a2+丘=1其中 C b 0,b2 = a2 - c2)1) a与长轴的顶点有关： A1(-a,0), A2(a,0)Ai A
2、2 = 2a称为长轴长PF + PF = 2a，则椭圆的标准方程为:1 一焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：+二=1(a b 0) a 2 b2B B = 2b称为短轴长1 2b ：与短轴的顶点有关： B1(0,-b),B2(0,b)F1F2 = 2C称为焦距C :与焦点有关：F1 (-C0 )，F2 (c0 h(2) 对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称(3) 椭圆上点的坐标范围：设P(x ,y )，则-a x a,-b y b0 0 0 04)通径：焦点弦长的最小值 焦点弦：椭圆中过焦点的弦 过焦点且与长轴垂直的弦|PQ|
3、=竺a说明： 假设 PQ 过 F (-c,0) ， 且 与 长 轴 垂 直 ， 则 P(-c, y ),Q(-c,-y ) ， 所以1 0 0竺+診=1 = y2上，可得y上。则|PQ =竺a 2 b 20 a 20 aa(5)离心率：e =，因为c 0,b 0,b2 = c2 一 a2)a 2 b2焦点在y轴：设双曲线上一点P(x,y)，F(0,-c),F(0,c)，设距离差的绝对值12叫-=2a，则双曲线标准方程为：竺-二=1，其中(a 0,b 0,b2 = c2 -a2)a 2 b2焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在x轴的双曲线为例：-荐=1(a 0,b 0)
4、 a 2 b2Ai A2 = 2a称为实轴长BB = 2b称为虚轴长1 2(1) a :与实轴的顶点有关：A1 (-a，0)，A2(a，0)，b :与虚轴的顶点有关：B (0,-b),B (0,b),12F1F2 = 2C称为焦距C :与焦点有关：F1(一C, ), F2 (c, )，(2) 对称性：双曲线关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称(3) 双曲线上点坐标的范围：设P(x ,y )，则有x a，y g R0 0 0 0 0(4) 离心率：e =-，因为c a，所以e g(1,+8)a(5) 渐近线：当xT+a或xT-a时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限 靠近，但不相交，则
5、称这条直线为曲线的渐近线。 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1 变为 0，再解 出y关于x的直线即可。例如在-二=1(a 0,b 0)中，求渐近线即解：乂 -二=0，a2 b2a2 b2bb变形为y = x，所以y = x即为双曲线的渐近线 aa 渐近线的几何特点：直线x = a,x = -a,y = b,y =-b所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现a,b,c的 关系。(6)通径： 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最
6、小值，此时弦PQ丄x轴，|PQ| =岂 a(7)焦半径公式：设双曲线上一点P(x ,y )，左右焦点分别为F,F，则0 0 1 2 PF = a + ex10PF2a - ex0可记为“左加右减”)由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c-a(8)焦点三角形面积：设双曲线上一点P(x ,y )，则S= b2cot(其中9 =ZPFF)0 0PF1 F221 2(三)抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：(1) 焦点在x轴正半轴：y2 = 2px(p 0)，焦点坐标 彳,0k2丿
7、(2) 焦点在x轴负半轴：y2 =-2px(p 0)，焦点坐标-召,0k 2 丿(3) 焦点在y轴正半轴：x2 = 2py(p 0)，焦点坐标0,pk 2丿(4) 焦点在y轴负半轴：x2 =-2py(p 0)，焦点坐标0,-彳k 2丿小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4,例如：x2 = 4y，则焦点在y轴上，且坐标为(0，1)3、焦半径公式：设抛物线y2 = 2px(p 0)的焦点为F，A(x, y)，贝廿AF卜x + 2厶4、焦点弦长：设过抛物线y2 = 2px(p 0)焦点的直线与抛物线交于A(x , y ),B(x , y
8、 )，1 1 2 2则I AB = x + x + p ( AB = AF + BF，再由焦半径公式即可得到)1 2二、典型例题： 例：已知双曲线宁-b-=1的右焦点与抛物线y 2=12 x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(a. 75C. 3D. 5思路：先从常系数方程入手，抛物线y2 = 12x的焦点为（3,0），即双曲线中的c二3，所以x2y 2由对b2 = c2 a2 = 5，从而双曲线方程为：4 = 1，其渐近线方程:称性可得焦点到两渐近线的距离相等不妨选择1 :云-2y二0，右焦点F2（30）所以小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点
9、）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标， 进而解出其他圆锥曲线的要素答案：A例2：已知双曲线-M = l（a 0,b 0）的实轴长为4耳2，虚轴的一个端点与抛物线 a 2b2x2 = 2py（p 0）的焦点重合，直线y = kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则P二（）A. 4B. 3C. 2D. 1思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p作为核心变量、（P、抛物线x2 2py的焦点为 0,I 2丿所以可得b =2因为2a = 4x/2 n a = 2J2 ，-4上=1，可求得渐近线方程为8p
10、2pppy = x，不妨设y = kx 1与y =x平行，则有k =。从相切可想到与抛物4/24迈4翻线联立消元后的方程A = 0y = F x 1p 2所以 n 0)与双曲线1 m 2n 2C2: a2-辛=1(a 0, b 0)的公共焦点将Ci, C2的离心率分别记为e ,e ,点A是C ,C在第一象限的公共点，若C1 2 1 2 2, 1 1的一条渐近线是线段AF的中垂线，则一+ =()1e2 e 21 24D7 - 2C5 - 2B2A11+ = e 21m2a 2m2 + a 2+ =e2c 2c 22c2本题焦 半 径 相 关 , 所 以 考 虑与AF2平行从而AF1丄AF2，所以
11、有|AF2 +弋 4c2 = AF 2 + |AF |2 = 2 (AF2 = FF 2 = 4c2，联系上面条件可得:+ AF2+ (AF| |AF p= 2m2 + 2a 2所以12AF + AF = 2m, AF AF = 2a。结合AF的中点与FF的中点可得双曲线的渐近线11m2 + a 2+ = = 2e 2e 2c 212答案：A例4：已知椭圆C :+= 1(a b 0)与双曲线1 a 2b2y2C： x2 -冷=1有公共的焦点，C的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点,若-恰好将线段AB三等分，则13A. a =B. a2 = 13思路：因为J C2有公共焦点所以通过C2可得F1C.b2=2D. b2 = 22a的直径为2a，所以AB截椭圆的弦长为三。由双曲线得AB :y = 2x，进
