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1、2010届高三数学专题测试之数列、极限与数学归纳法选择题1 在半径为1的圆内作内接正三角形，然后在所得正三角形内作内切圆，接着在第2个圆内再作内接正三角形，如此无限作下去，则所有这些圆的面积之和（即前n项和Sn的极限lim Sn ）是（n)A.4pC. 2pD.不存在2.S 3a已知等差数列Mg 的前n项和分别为Sn,Tn，且=；，则1=A.C.9D.163.若limn存在，则实数 n5n 1 + (a + 1)nn+ 1a的取值范围是（).A.(-6,4)B. (- 6,4C. -6,4D. (- 2,4)4.已知等差数列共有 2008项，其中奇数项的和是 1004，偶数项的和是3012，则
2、其公差是).A.B.2C.3D.4).A.B.36C.17D.186.Sn是等差数列an的前n项和，若Ss S8，则下列说法错误的是（).A.B. a7 = 0C.S9 S5D. S6,S7均为Sn的最大值$.设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，且 S6= 36,Sn 二 324,Sn-6 二 144（ n 6），则 n 二（在数列an中，如果存在非零常数为以T为周期的周期数列.T ,使得am+T = am对于任意正整数 m均成立，那么就称数列an已知数列Xn满足Xn+1 = | Xn- Xn- 1 | ( n2, n ? N ),如果X1 = 1,X2 = a（a喂R, a 1），当数列
3、Xn的周期最小时，该数列前2008项的和是（）.A. 1337B. 1338C. 669D. 1004s + s +11 i + s8 .设数列 an的前n项和为Sn,令Tn 12n，称Tn为数列,a?,an的“理想数”为().A. 2002B.2004C.2006D.20089.定义在N上的函数f(x)，满足f (1)= 1，且f(n +1) = |2f(n)，n为偶数, ?f (n), n为奇数.，则 f (22)=().1c. F21110群羊中，每只羊的重量均为整数千克，其总质量为A.222B. 21065千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各羊的千克数能组成一
4、个等差数列，则这群羊共有().11 .已知。一 123,1010210310B -81C.n+ n，且 lim10nn1方=0，则 nimSn=().D.1012 .黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:第1个第2个第3个则第n个图案中有白色地面砖的块数是A . 4n 2B . 4n -2C . 2n 4.填空题D . 3n 313.已知等差数列an，其中a5,a8,a13是等比数列g的相邻三项，若b? = 1,则bn =14.若(1+ 5x n的展开式中各项系数的和是an , (x2- 1)n的展开式的二项式系数和为bn，则limnan- 2bn =3an + 4bn223
5、3n n2 3232323 小5.右 Sn23n ，则 lim Sn 二n 662636 + np*16.设 f(n, p)=(n, p? N , p, 2n),数列anp满足眺 a2p，盼anp = f (n, p)，则数列an2的通项公式是三解答题17 已知函数 f (x)=-+ -(n1 2 * + 5n- 2)，试猜想出通项务，f(an)22- x(1)若数列an的前n项和为Sn，且ai = f (1) , Sn =并用数学归纳法证明;(2)n 1求 lim ?-n k=1 kak1 8.3在数列an中，其前n项和为Sn,且d = 2，a2 =2 , Sn+1- 3Sn+ 2Sn-i+
6、 1= 0( n ? 2,n? N).求通项an ；(2)求limnan1 9.已知数列an,ai = 2p ( p为给定的非零常数)，轩如5?2).an- 1是否存在常数k，使数列一an(2)设 bn= a?,数列bn的前n项和为Sn，求lim(Pnf an.nS2n- 1P .nS2n+ 1bn+ 12 0.5 +2x已知函数 f (xH-竺168x，设正项数列：a满足a1 = 1 , an 1(2)(3)2 1.写出a2, a3的值;5试比较an与5的大小，并说明理由;4设数列 检满足bnan，记Sn = b .证明：当n? 2时,4y& )(2n -1).4已知等差数列an的首项为a，
7、公差为b ；等比数列bn的首项为b，公比为a，其中a,b? N+ ,且 印：:d ：a2 : d : a3 +(1)求a的值;(2)若对于任意 n ? N+，总存在m三N .，使am二bn，求b的值;b使得2an:：: bn2对n? N+恒成= 2(a 0 且 a - 1)，设 y4 =17，(3 )甲说：一定存在b使得2an -bn2对n? N+恒成立；乙说：一定存在立.你认为他们的说法是否正确？为什么?2 2.已知等比数列xn的各项不为1的正数，数列 yn满足yn logxn aV7 =11.(1)求数列yn的前多少项和最大，最大值是多少?S(2)设 bn =2yn , Sn = b-i
8、b2 b亠 bn，求 lim 25 的值.c2(3 )试判断，是否存在自然数M，使当n M时xn1恒成立，若存在求出相应的M ；若不存在，请 说明理由.答案及提示2.3.A.C.B.1所得圆的面积构成以 p为首项，-为公比的等比数列，故所求为4设等差数列an, bn的公差分别是d,2，可知limnan d1bnd24pP1-丄34Tn5nlimn= limdn 5+(a+1) n 5+ (0+J)n5，于是只要a+ 1lim(n 5)n存在，于是5224B. S偶-S奇2008 1004d，得 d = 2 .由a-i + a+ L + a = 36 ,及an- 5 +an- + L+ an =
9、Sn - Sn-=680,则4 + an _ 3 61 二早8 02 6 =，于是Sn =n +啦？ 32418n?n 18 ；或者根据数值，a-i + a 2+ L + a =36, a7 + a8 + L + an- 6Sn- 6 - S6 = 108 ,an- 5 + an- 4+ L + an = 180成等差数列，于是,n= 18.第7项为负，第8项开始均为负，于是D对,6. c.由a6 =S6 -S5 0, a7=S7 -Sj =0 ,可知d =a7 -a6 0 ,则数列为递减数列，前6项为正,S9 - S5 = a9 + a8 + a7 + a6 = 2( a8 + a7) 0
10、,所以只有-JC错误.也可以从 Sn二一n2+ (a1- -)n是关于n的二次型函数的角度研究.2 27.D .数列Xn前四项是 1,a,| a- 1|,| a- 1|- a|，若 |a- 1|= 1 ? a 0 ,或 a= 2，验证可知 a= 2不合题意，当a= 0时，数列xn是以1为周期的数列，数列前2008项的和是1004 .8. C. 501a1 500a2 亠 亠 a501 =501 2008 ,5022 50250血 顶去 = 2 501 2008 = 2006 .502D .注意数列f (n)的奇数项，偶数项分别等比数列，1111f(2) = f(1)= 1,f(4) = f(3
11、)= ； f(1)= ;, f(6)= f (5)= ； f(4)= R?2222E.可得 55= 7n+ n(n- J? d，验证可知，只有 n = 5,d = 2 .2122+ 2 + L + 二，得 10Sn= 1+103 10n 1010疋 lim Sn =n 81f(22)1 0.1 1.Sn =E.由 Sn =+10 10 叫1-丄)-亠 81(10n) 9 10，+ 一10102活 +L话，作差得1 2.C.白色地面砖的块数依次构成以6为首项，4为公差是等差数列.52宀 1或(-)n-2.由于5(a8-a5)= 3(右a8)，故斶6=认-aq5)2，得 3q - 8q+5 =05
12、n- 2q = 1，或q = -，代入bn = dq 可知.3114. 一 可知 an = 6n , bn = 2n，于是3lim旦2bnn 3an + 4 bnlimn6n- 2? 2n3? 6n 4? 2n1- 2? (-)n limn 3+4?(-)n 3Sn1 1 1q壬歹)，得nm&二1-J-J321二2则a12+a22+ 鬃？ a(n-1)2 二 f (n- 1, 2) = C；n-2, (n 2), 两式相 减得： n 2 时22| |2an2 =C2n -C2n_2 = 4n -3，且 a12 = C2 = =4 1 _3 ,. an2 = 4n - 3.21117.( 1)由 f(an)二，故 Sn= (n2+5 n+)-an，当 n? 2时，Sn-1= (n2+3n-2)-an-1 ,2- an22作差得2an- an-1二n+ 2，由印二f (1)= 2 , a?二3,as= 4，猜想a.二n + 1 .以下用数学归纳法进行证明.当n= 1时，an二n+ 1成立；假设当n二k(k? 1)时猜想成立，则ak = k + 1,当n= k+ 11 k + 3时，ak+1 = ak += (k + 1)+ 1，所以当n= k+ 1时猜想也成立.由可知，通项an2 2n 1(2)因为ak = k + 1，所以邋=+L+1k=7kakk=1 k(k+ 1)
