高中数学2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式优化训练新人教B版必修4

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1、高中数学2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式优化训练新人教B版必修42.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则ABC为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法判断解析:由=(1,1),=(-4,2),=(3,-3),得2=2,2=20,2=18.2+2=2,即AB2+AC2=BC2.ABC为直角三角形.(本题亦可画图,验证=3-3=0)答案:B2.已知m=(3,-1),n=(x,-2),且m,n=,则x等于( )A.1 B.-1 C.-4 D.4解析:cos=

2、,解得x=1.答案:A3.已知a=(2,5),b=(,-3),且ab,则=_.解析:ab,ab=0,即2-15=0,=.答案:4.设=(3,1),=(-1,2),则满足+=的坐标(O为原点)为_.解:设=(x,y),则=(x+3,y+1),=-=(x+4,y-1).,-(x+3)+2(y+1)=0,即x-2y+1=0. 又,3(y-1)-(x+4)=0,即x-3y+7=0. 由得x=11,y=6.=(11,6).答案:(11,6)10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.已知a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),且a与b的夹角大于90,则实数m的取值范围为( )A.m2或m B.m

3、2C.m2 D.m2且m解析:a与b夹角大于90ab0,ab=(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=3m2-2m-8,解不等式3m2-2m-80,得m2.答案:B2.(2006高考重庆卷,文7)已知三点A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中k为常数.若|=|,则与的夹角为( )A.arccos() B.或arccosC.arccos D.或-arccos解析:由于|=|,且=(-3,-4),=(4,k-3),所以16+(k-3)2=25,解出k=6或0.当k=0时,=0,其中夹角是;当k=6时,cos=,所以=-arccos.答案:D3.已知m=(a,b),向量n与m垂直,

4、且|m|=|n|,则n的坐标为( )A.(b,-a) B.(-a,b)C.(-a,b)或(a,-b) D.(b,-a)或(-b,a)解析:设n的坐标为(x,y),由|m|=|n|,得a2+b2=x2+y2, 由mn,得ax+by=0, 解组成的方程组得得n的坐标为(b,-a)或(-b,a).答案:D4.若i=(1,0),j=(0,1),则与3i+4j垂直的单位向量是_.解析:3i+4j=(3,4).设与3i+4j垂直的单位向量为b=(x,y),依题意,得故与3i+4j垂直的单位向量为ij或-i+j.答案:ij或-i+j5.已知向量x与a=(2,-1)共线,且ax=-18,则x=_.解析:设x=

5、(2,-),又ax=-18.4+=-18.=.答案:()6.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+b,为实数,试证:使模|x|最小的向量x垂直于向量b.证明:因|x|2=xx=|a|2+2|b|2+2ab,故x2=252+14+2=(5+)2+.当5+=0,即=时,|x|最小.此时x=ab=().又=0,向量x与b垂直.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.已知a=(-1,3),b=(2,-1),且(ka+b)(a-2b),则k的值为( )A. B. C. D.解析:由(ka+b)(a-2b),得(ka+b)(a-2b)=0. 而ka+b=(2-k,3k-1),a-2b=(-5

6、,5).故-5(2-k)+5(3k-1)=0,解得k=.答案:C2.(2006高考重庆卷,理7)与向量a=(),b=()的夹角相等,且模为1的向量是( )A.() B.()或()C.() D.()或()解析:设所求向量为e=(cos,sin),由于该向量与a、b的夹角相等,故ae=becos+sin=cossin3cos=-4sin,所以sin=且cos=,或sin=且cos=,所以B选项成立.答案:B3.已知点A(2,3),若把向量绕原点O按逆时针方向旋转90,得到向量,则B点坐标为( )A.(2,-3) B.(-3,2) C.(3,-2) D.(3,2)解析:设B(x,y),|=|,(舍去

7、),故B点坐标为(-3,2).答案:B4.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8)四点,则四边形ABCD是( )A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形解析:=(3,-2),=(-3,2),=-,四边形ABCD为平行四边形.又=(4,6),=34-26=0,即,且|,四边形ABCD为矩形.答案:B5.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且ca,bc=1,则c的坐标为( )A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(-3,2)解析:设c=(x,y),ca,2x-3y=0. 又bc=1,x-2y=1, 综合知x=-3,y=-2.答案:C6.已知a=(3,1),

8、b=(x,-3),且ab,则x等于( )A.3 B.1 C.-1 D.-3解析:ab,3x-3=0.x=1.答案:B7.以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角OAB,使A=90,则的坐标为_.解析:依题意,设=(x,y),则由|=|得. 而又由得5x+2y=0. 由联立可解得x=2,y=-5或x=-2,y=5,=(2,-5)或(-2,5).答案:(2,-5)或(-2,5)8.平面向量a,b中,已知a=(4,-3),|b|=1,且ab=5,则向量b=_.解析:设b=(x,y),则b=(,).答案:(,)9.设O为原点,点A(a,0),B(0,a)(a0),点P在线段AB上,且=t (0t1),

9、则的最大值为_.解析:=(+)=(+t)=2+t=a2+t(a,0)(-a,a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2,0t1,-1-t0,01-t1,即a2.答案:a210.已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求证:a+b与a-b互相垂直;(2)若ka+b与ka-b的模相等,求-(其中kR且k0).(1)证明:依题意知a+b=(cos+cos,sin+sin),a-b=(cos-cos,sin-sin).又(a+b)(a-b)=(cos+cos)(cos-cos)+(sin+sin)(sin-sin)=cos2-cos2+sin2-sin2=0,所以(a+b)(

10、a-b).(2)解:由于kab=(kcoscos,ksinsin),所以|kab|=.又因为|ka+b|=|ka-b|,所以2kcos(-)=-2kcos(-),且k0,故cos(-)=0.又0,所以-=.11.已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),且|ka+b|=|a-kb|(k0),(1)用k表示数量积ab;(2)求ab的最小值,并求此时a,b的夹角.解:(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,k2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3k2b2.(k2-3)a2+8kab+(1-3k2)b2=0.|a|=1,|b|=1,k2-3+8kab+1-3k2=0,ab=.(2)ab=,由函数单调性定义易知f(k)=(k+)在(0,1上单调递减,在1,+)上单调递增,当k=1时最小值为f(1)=(1+1)=.此时a,b夹角为,cos=,=60.1

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