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1、复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1复数的有关概念我们把集合C中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位全体复数所成的集合C叫做复数集复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式对于复数zabi，以后不作特殊说明都有a，bR，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成abi(a，bR)的形式，其中000i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数zabi只有在a，bR时才是复数的代数形式，否则不是代数形式2复数相等在复数集C中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定：ab
2、i与cdi相等的充要条件是ac且bd.3复数的分类对于复数abi，当且仅当b0时，它是实数；当且仅当ab0时，它是实数0；当b0时，叫做虚数；当a0且b0时，叫做纯虚数这样，复数zabi可以分类如下：复数z说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR) 复平面内的点Z(a，b)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.5复数的模(1)定义：向量OZ的模r叫做复数zabi(a，bR)的模(2)记法：复数zabi的模记为|z|或|abi|.(3)公式：|z|abi|r(r0，rR)说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外
3、，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z00i0，表示的是实数6复数的加、减法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.7复数加法运算律设z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)8复数加、减法的几何意义设复数z1，z2对应的向量为，则复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数，z1z2是连接向量与的终点并指向的向量所对应的复数它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解
4、释，使复数作为工具运用于几何之中9复数代数形式的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.10复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)分配律z1(z2z3)z1z2z1z311.共轭复数已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是ac且bd.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是ac且bd0.12复数代数形式的除法法则：(abi)(cdi)i(cdi0)说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数cdi
5、，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似二、题型总结题型一：复数的概念及分类典例实数x分别取什么值时，复数z(x22x15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)当x满足即x5时，z是实数(2)当x满足即x3且x5时，z是虚数(3)当x满足即x2或x3时，z是纯虚数复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式zabi(a，bR)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数zabi(a，bR)，则z为实数b0，z为虚数b0，
6、z为纯虚数a0，b0.z0a0，且b0题型二、复数相等典例已知关于x的方程x2(12i)x(3mi)0有实数根，则实数m的值为_，方程的实根x为_解析设a是原方程的实根，则a2(12i)a(3mi)0，即(a2a3m)(2a1)i00i，所以a2a3m0且2a10，所以a且23m0，所以m. 题型三：复数与点的对应关系典例求实数a分别取何值时，复数z(a22a15)i(aR)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内(2)在复平面内的x轴上方解(1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a3.(2)点Z在x轴上方，则即(a3)(a5)0，解得a5或a3.题型四：复数的模典例(1)若复数z对应
7、的点在直线y2x上，且|z|，则复数z()A12iB12iC12i D12i或12i(2)设复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数a的取值范围是()A(，1)(1，) B(1,1)C(1，) D(0，)解析(1)依题意可设复数za2ai(aR)，由|z|得 ，解得a1，故z12i或z12i.(2)因为|z1| ，|z2|，所以，即a245，所以a21，即1a1.答案(1)D(2)B题型五：复数与复平面内向量的关系典例向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，则+对应的复数是()A108i B108iC0 D108i解析因为向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，所以(
8、5, 4), (5, 4)，所以(5，4)(5,4)(0,0)，所以+对应的复数是0.答案C题型六：复数代数形式的加、减运算典例(1)计算：(23i)(42i)_.(2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2|_.解析(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以解得x1，y0，所以z132i，z22i，则z1z21i，所以|z1z2|.答案(1)2i(2)题型七：复数加减运算的几何
9、意义典例如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3+2i，-2+4i.求：(1) 表示的复数；(2)对角线表示的复数；(3)对角线表示的复数解(1)因为，所以表示的复数为32i.(2)因为，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)16i.题型八：复数模的最值问题典例(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1B.C2 D.(2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值解析(1)设复数-i，i，-1-i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|
10、Z1Z2|=2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.答案A(2)解：如图所示， |2.所以|z|max213，|z|min211.题型九：复数代数形式的乘法运算典例(1)已知i是虚数单位，若复数(1ai)(2i)是纯虚数，则实数a等于()A2B.C D2(2)(江苏高考)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解析(1)(1ai)(2i)2a(12a)i，要使复数为纯虚数，所以有2a0,12a0，解得a2.(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.
11、题型十：复数代数形式的除法运算典例(1)若复数z满足z(2i)117i(i是虚数单位)，则z为()A35i B35iC35i D35i(2)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()A2 B2C D.解析(1)z(2i)117i，z35i.(2)i，由是纯虚数，则0，0，所以a2.答案(1)A(2)A题型十一：i的乘方的周期性及应用典例(1)(湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为()Ai BiC1 D1(2)计算i1i2i3i2 016_.解析(1)因为i607i41513i3i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式0.法二：i1i2i3i40，inin1in2in30(nN)，i1i2i3i2 016，(i1i2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)0.答案(1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN*)(2)inin1in2in30(nN) 8 / 8
