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1、第八章微分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此寻找变量之间的函数关系，在实践中具有重要的意义。然而在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系，但是可以根据问题所提供的条件，比较容易建立起这些变量及其导数（微分） 之间的关系式或有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，数学上把这种关系式叫做微分方程。对建立的微分方程进行研究，找出未知函数来，这就是解微分方程。基本内容：基本概念：微分方程、可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程基本运算 ：可分离变量微分方程、可降价微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程的解法基
2、本理论 ：常数变易法、欧拉指数法具体应用： 用微分方程解决实际的应用问题本章重点 ：微分方程的概念、 变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程课标导航1了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线等概念；2掌握可分离变量微分方程的概念与解法；掌握齐次微分方程与可化为齐次微分方程的概念与解法；3了解一阶线性微分方程的概念，掌握一阶齐次线性微分方程的解法及通解公式y CeP( x) dx 、一阶非齐次线性微分方程的解法、通解公式P ( x) dxP ( x) dxy e Q( x)edx C 及其通解的结构；4会用变量代换解伯努利方程；掌握可降价微分方程y( n
3、 )f (x) 、 yf (x, y ) 、 yf ( y, y ) 的解法5掌握求二阶常系数齐次微分方程的通解的方法（欧拉指数法） ，了解二阶常系数非齐次微分方程解的结构，并会用待定系数法求自由项形如f ( x)pm (x )e x 与 f (x) e x pn (x)cos x pm (x) sin x 的二阶常系数非齐次微分方程的特解和通解；6会用叠加原理求自由项f ( x)f1( x) f2 (x) 的二阶常系数非齐次微分方程的特解。一、知识梳理与链接（一）基本概念定义1凡含有自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。【注意】微分方程中自变量及未知函数可能含有也可能不含
4、有，但必须含有未知函数的导数或微分。定义2微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。【注意】微分方程的阶数一定是正整数。定义 3微分方程的阶数是几阶的，微分方程就称为几阶微分方程。定义 4能使微分方程成立的函数，称为微分方程的解132定义 5 若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。定义6满足某个特定条件的解，称为微分方程的特解。这个特定条件称为微分方程的初始条件。定义 7如果一个一阶微分方程能化成g ( y)dyf ( x) dx 形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程定义 8如果一个一阶微分方程能化成d
5、y( y ) 形式，那么就称原方程为齐次方程dxx定义 9形如 dyP (x) y Q(x) 的方程，称为一阶线性微分方程。dx当 Q( x )0 时，称 dyP(x) y0为一阶齐次线性微分方程；当Q( x) 0 时，称 dyP(x) y Q( x) 为一阶非齐次dxdx线性微分方程。其中：P( x) 、Q(x) 是已知的函数定义 10形如 dyP(x)yQ( x) yn(n 0,1)的一阶微分方程， 称为伯努利方程dx定义 11形如 ypyqy0 的二阶微分方程（其中p 、 q 为常数）称为二阶常系数线性齐次微分方程定义 12形如ypyqyf (x)的二阶微分方程（其中p 、 q 为常数
6、f (x) 为已知函数）称为二阶常系数线性非齐次微分方程。（二）定理、解法及公式1可分离变量微分方程的解法对可分离变量微分方程g (y)dyf (x)dx 的等式两端同时积分g( y)dyf (x)dx . 设 g( y) 、f ( x) 的原函数分别为G(y) 和 F (x) ，则方程的解为 G(y)F (x)C .2齐次方程的解法设y，有ydyu xdu ， 则齐次方程可化为可分离变量的微分方程，原方程化为du(u)，即uux,dxu xxdxdxx du(u)u ，分离变量得duudx两端积分得dudx ， 求出积分后，再用y 代替 u 便得齐次方dx(u)x(u) uxx程的通解。3一
7、阶线性方程解法dyP(x) y0通过可分离变量微分方程求其通解为yP (x ) dx.dxCedyP(x) yQ( x) 的通解可通过常数变易法求得。其方法是：设y C (x)eP ( x) dx是它的解，代入方程得dxP( x) dxP( x )dx Q(x)eP( x ) dxC C (x)Q(x)edx C .则其通解为 y edx4伯努利方程解法作变换 zy1 n 将方程化为一阶线性微分方程。即 yP(x)yQ(x) y n 化为 dz(1n)P(x)z (1 n)Q( x) .dx5可降阶的微分方程方程的形式与特点解法（降阶法）y(n ) f ( x)y (n) f ( x) 两边连
8、续积分 n 次，即得方程的133特点：左端是未知函数y 的 n 阶导数，右端是x 的已知函数yf (x, y )特点：左端是未知函数y 的二阶导数，右端不含有y .yf (y, y )特点：左端是未知函数y 的二阶导数，右端不含有x通解。设 yz(x) ，原方程为 zf (x, z) ，是一阶线性微分方程，即可求其解。设 yz( y) ，原方程为 z dzf ( y, z) ，是dy一阶线性微分方程，即可求其解。6方程解的结构的基本定理定理 1设 y1、 y2是方程的解，则y c1 y1c2 y2 也是方程的解。定理 2设 y1、 y2是方程的两个线性无关的解，则yc1 y1c2 y2 是方程
9、的通解。定理 3设 Y 是方程的通解， y是方程的一个特解，则 yY y 是方程的通解。定理 4设 y1、 y2分别是方程 ypyqyf1 (x) 与 ypy qyf 2 ( x)的解则 yc1 y1c2 y2 是方程 y pyqyf 1( x)f 2 (x ) 的解。7二阶常系数线性齐次微分方程ypyqy0 的解法依方程 ypyqy 0 写出特征方程 r 2prq0 ；求出特征根r1 、 r2 ；由特征根写出方程的通解。方程 ypyqy 0 的通解形式如下表情况特征方程 r 2prq0的根微分方程 ypyqy 0 的通解形式1两个不相等的实根r1 、 r2y c1er1 xc2 er2 x2
10、重根 r1 = r2y (c1c2 x)er1 x3一对共扼复数根r1,2iy e x (c1 cosx c2 sin x)【注意】以上求解的方法称为欧拉指数法8二阶常系数线性非齐次微分方程解法（ 1）求二阶常系数线性非齐次微分方程ypyqyp m ( x)e x （其中：pm (x) 是 x 的 m 次多项式，为常数）的通解写出方程对应的齐次微分方程的通解Y ，求出方程的特解求方程的特解的方法是情况常数与特征根的关系微分方程特解的形式1不是特征方程 r 2prq0的根y( a0 x ma1 xm 1a m ) e xQ m ( x) e x2是特征方程 r 2prq0的一个单根ymm 1xx
11、x (a 0 xa1xam )exQ m (x )e3是特征方程 r 2prq0的根重根yx 2 ( a0 xma1 x m 1a m )e xx 2Q m ( x )e x得方程 ypy qy pm ( x )e x 的通解 yY y（ 2）求二阶常系数线性非齐次微分方程n 次、 m 次多项式， 、 为常数）的通解写出方程对应的齐次微分方程的通解求方程特解的方法是情常（复）数i与特况征根的关系y py qy e x pn (x)cos x pm (x) sin x （其中： pn (x) 、 pm (x) 分别是 x 的Y ，求出方程的特解微分方程特解的形式134iye x( a0 xka1xk 1ak ) cosx(b0 xkb1xk 1bk )sinx1不是特征方程r2prq0的根e x R (1)( x
