《高等数学第六版(同济大学)[上册]课后习题的答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第六版(同济大学)[上册]课后习题的答案（117页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 .wd.高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-1 1. 设A=(-,-5)(5,+),B=-10, 3), 写出AB,AB,AB及A(AB)的表达式. 解 AB=(-, 3)(5,+),AB=-10,-5),AB=(-,-10)(5,+),A(AB)=-10,-5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC BC. 证明 因为x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC,所以 (AB)C=AC BC. 3. 设映射f:XY,AX,BX. 证明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为yf(AB)$
2、xAB, 使f(x)=y(因为xA或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B),所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因为yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B),所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射f:XY, 假设存在一个映射g:YX, 使, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IYy=y. 证明:f是双射, 且g是f的逆映射:g=f-1. 证明 因为对于任意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=fg(y)=Iyy=y, 即Y中任意元素都
3、是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否那么假设f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g:YX, 因为对每个yY, 有g(y)=xX, 且满足f(x)=fg(y)=Iyy=y, 按逆映射的定义,g是f的逆映射. 5. 设映射f:XY,AX. 证明: (1)f-1(f(A)A; (2)当f是单射时, 有f-1(f(A)=A. 证明 (1)因为xA f(x)=yf(A) f -1(y)=xf-1(f(A),所以 f-1(f(A)A. (2)由(1)知f-1(
4、f(A)A. 另一方面, 对于任意的xf-1(f(A)存在yf(A), 使f-1(y)=xf(x)=y. 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f-1(f(A)A. 因此f-1(f(A)=A. 6. 求以下函数的自然定义域: (1); 解 由3x+20得. 函数的定义域为. (2); 解 由1-x20得x1. 函数的定义域为(-,-1)(-1, 1)(1,+). (3); 解 由x0且1-x20得函数的定义域D=-1, 0)(0, 1. (4); 解 由4-x20得 |x|0得函数的定义域D=(-1,+). (10). 解 由x0得函数的定义域D=(-, 0)(0,+). 7. 以
5、下各题中, 函数f(x)和g(x)是否一样为什么 (1)f(x)=lg x2,g(x)=2lg x; (2) f(x)=x,g(x)=; (3),. (4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x. 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法那么不同,x0, 1-x20. 因为当x1x2时,所以函数在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x1,x2(0,+), 当x1x2时, 有,所以函数y=x+ln x在区间(0,+)内是单调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数, 假设f(x)在(0,l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内
6、也单调增加. 证明 对于x1,x2(-l, 0)且x1-x2. 因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数, 所以f(-x2)f(-x1),-f(x2)f(x1),这就证明了对于x1,x2(-l, 0), 有f(x1) f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l,l)上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 那么 F(-x
7、)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 那么 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F(x)=f(x)g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 那么 F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 那么 F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=F(x),所以F
8、(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 那么 F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)-g(x)=-f(x)g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 以下函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数 (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3); (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6). 解 (1)因为f(-x)=(-x)21-(-x)2=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)由f(-x)=3(-
9、x)2-(-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (3)因为, 所以f(x)是偶函数. (4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数. (5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (6)因为, 所以f(x)是偶函数. 13. 以下各函数中哪些是周期函数对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x-2); 解 是周期函数, 周期为l=2p. (2)y=cos 4x; 解 是周期函数, 周期为. (3)y=1+sin px; 解
10、 是周期函数, 周期为l=2. (4)y=xcos x; 解 不是周期函数. (5)y=sin2x. 解 是周期函数, 周期为l=p. 14. 求以下函数的反函数: (1); 解 由得x=y3-1, 所以的反函数为y=x3-1. (2); 解 由得, 所以的反函数为. (3)(ad-bc0); 解 由得, 所以的反函数为. (4) y=2sin3x; 解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函数为. (5) y=1+ln(x+2); 解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2, 所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex-1-2. (6). 解 由得, 所以的反函数为. 1
11、5. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. 证明 先证必要性. 设函数f(x)在X上有界, 那么存在正数M, 使|f(x)|M, 即-Mf(x)M. 这就证明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再证充分性. 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1f(x) K2. 取M=max|K1|, |K2|, 那么 -M K1f(x) K2M,即 |f(x)|M.这就证明了f(x)在X上有界. 16. 在以下各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1) y=u2,u=sin x,; 解 y=sin2x,. (2) y=sin u,u=2x,; 解 y=sin2x,. (3),u=1+x2,x1=1,x2= 2; 解 ,. (4) y=eu,u=x2,x1 =0,x2=1; 解 ,. (5) y=u2 ,u=ex,x1=1,x2=-1. 解 y=e2x,y1=e21=e2, y2=e2(-1)=e-2. 17. 设f(x)的定义域D=0,1, 求以下各函数的定义域: (1) f(x2); 解 由0x21得|x|1, 所以函数f(x2)的定义域为-1, 1.(2) f(s
