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1、 精品资料第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 考点一四种命题的关系 例1(1)命题“若x1，则x0”的否命题是()A若x1，则x0 B若x1，则x0C若x1，则x0 D若x1，则x0(2)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数自主解答(1)因为“x1”的否定为“x1”，“x0”的否定为“x0”，所以命题“若x1，则x0”的否命题为：“若x1，则x0”(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达
2、是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x与y不都是偶数”答案(1)C(2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性解：逆命题：若xy是偶数，则x，y都是偶数是假命题否命题：若x，y不都是偶数，则xy不是偶数是假命题 【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用1命题p：“若ab，则ab2 012且ab”的逆否命题是()A
3、若ab2 012且ab，则abB若ab2 012且ab，则abC若ab2 012或ab，则abD若ab2 012或ab，则ab解析：选C“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若ab2 012或ab，则ab”2(2014湖州模拟)下列命题中为真命题的是()A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题解析：选AA中逆命题为“若x|y|，则xy”是真命题；来源:B中否命题为“若x1，则x21”是假命题；C中否命题为“若x1，则x2x20”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也
4、为假命题.考点二命题的真假判断 例2(1)下列命题是真命题的是()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2(2)(2014济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线其中正确的是()A B C D自主解答(1)取x1排除B；取xy1排除C；取x2，y1排除D，故选A.(2)对于，由线面垂直的判定可知正确；对于，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故错
5、误；对于，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故错误；对于，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故正确综上可知，选D.答案(1)A(2)D【方法规律】命题的真假判断方法来源:(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假给出下列命题：函数ysin(xk)(kR)不可能是偶函数；已知数列an的前n项和Snan1(aR，a0)，则数列an一定是等比数列；若函数f(x)的定义域是R，且满足f(x)f(x2)
6、3，则f(x)是以4为周期的周期函数；过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交其中所有正确的命题有_(填正确命题的序号)来源:学科网解析：当k时，ysin(xk)就是偶函数，故错；当a1时，Sn0，则an的各项都为零，不是等比数列，故错；由f(x)f(x2)3，则f(x2)f(x4)3，相减得f(x)f(x4)0，即f(x)f(x4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，正确；过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故错综上所述，正确的命题只有.答案： 高频考点考点三 充 要 条 件 1充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现
7、，难度不大，属于容易题2高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题例3(1)(2013福建高考)设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2012四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()来源:Aab BabCa2b Dab且|a|b|(3)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“
8、a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_自主解答(1)若x2且y1，则xy10；反之，若xy10，x，y有无数组解，如x3，y2等，不一定有x2且y1，故选A.(2)，分别是与a，b同方向的单位向量，由，得a与b的方向相同而ab时，a与b的方向还可能相反故选C.(3)对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等
9、比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确；对于，当a2时，函数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当m3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m3，也可能m0.因此不正确；对于，由题意得，若B60，则sin A，注意到ba，故A30，反之，当A30时，有sin B，由于ba，所以B60或B120，因此正确综上所述，真命题的序号是.答案(1)A(2)C(3)充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系解决此类问题应分三步：确定条件是什么，结论是什么；
10、尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关系(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可1(2014西安模拟)如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，那么“xy”是“|xy|1成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若xy，则|xy|1；反之，若|xy|1，如取x1.1，y0.9，则xy，即“xy”是“|xy|1成立”的充分不必要条件2已知p：0，若p是q的充
11、分不必要条件，则实数a的取值范围是()A(2，1B2，1来源:C3,1 D2，)解析：选A不等式1等价于10，解得x2或x0可以化为(x1)(xa)0，当a1时，解得x1或x1时，不等式(x1)(xa)0的解集是(，1)(a，)，此时a2，即2a1.综上可知a的取值范围为(2，13设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.解析：一元二次方程x24xn0的根为x2，因为x是整数，即2为整数，所以为整数，且n4，又因为nN*，取n1,2,3,4，验证可知n3,4符合题意，所以n3,4时可以推出一元二次方程x24xn0有整数根答案：3或4课堂归纳通法领悟1个区别“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别2条规律四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假同时要关注“特例法”的应用3种方法判断充分条件和必要条件的方法(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法
