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1、高中数学第2章指数函数、对数函数和幂函数2.2对数函数命题与探究素材湘教版必修12.2对数函数问题探究 问题1如何将给出的对数式换成指定底数的对数？ 探究:考试大纲要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式:logbN= (a0且a1,b0且b1,N0).推论:logab=,logambn=logab.更特别地有logaan=n. 问题2对数函数的运算性质有几条？ 探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是:如果a0且a1,M0,N0,则有(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga()=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(nR). 问
2、题3对对数函数的图象和性质的研究,教材是根据互为反函数的图象特征,由指数函数的图象再作出其关于直线y=x的图象,即得对数函数的图象,在数形结合的数学思想指导下,推得对数函数的性质.请归纳对数函数y=logax(a0且a1)的性质.探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与a的取值无关的三条性质:(1)定义域都是(0,+);(2)值域都为R;(3)图象恒过点(1,0).与a的取值有关的两个特性:(1)a1时,y=logax在(0,+)上是增函数;0a1:0a1: 问题4比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法？
3、探究:两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:(1)直接法:由函数的单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.典题精讲例1:比较下列各组中两个值的大小.(1)log31.9,log32; (2)log0.90.1,log0.92;(3)log3
4、5,log53; (4)log23,log0.32;(5)loga,loga3.141.思路分析:比较两个对数值的大小:同底可利用对数函数的单调性,如(1)(2);若底数、真数都不同可以借助常数(常用的-1,0,1)为媒介间接比较大小,如(3)(4);若真数相同,底数不同可以借助对数函数图象来比较大小;若底数与1的大小关系不确定,要分情况讨论.解:(1)因为y=log3x在(0,+)上是增函数,所以log31.9log0.92.(3)因为log35log33=1=log55log53,所以log35log53.(4)因为log23log22=1,log0.32log0.32.(5)当a1时,l
5、ogaloga3.141;当0a1时,loga0,解得xR,即定义域为R;又f(-x)=lg-(-x)=lg(+x)=lg=lg(-x)-1=-lg(-x)=-f(x).y=lg(-x)是奇函数.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,我们只需研究R+上的单调性.任取x1、x2R+且x1x2,则+x1,即有-x1-x20.lg(-x1)lg(-x2),即f(x1)f(x2)成立.又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在R-上也为减函数.例4:(1)函数y=lg的图象大致是( )图2-2-1(2)作出函数y=|log4x|-1的图象.思路解析: (1)本题通法有两种:图象是由点构成的,点点
6、构成函数的图象,所以可取特殊点(2,0),(,1).利用函数解析式判断函数的性质,函数的定义域为(1,+),在定义域上函数为减函数.(2)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|log4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.答案:(1)A(2)如图2-2-2所示.图2-2-2例5:(1)已知函数y=log3(x2-4mx+4m2+m+)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)已知函数y=logax2+(k+1)x-k+(a0,且a1)的值域为R,求实数k的取值范围.思路分析:题(1)中,对任意实数x,x2-4mx+4m2+m+0恒成立;题(2)中,x2+(k+1)x-k+取尽一切正实数.解:(1)x2-4mx+4m2+m+0对一切实数x恒成立,=16m2-4(4m2+m+)=-4(m+)0.又m2-m+10,m-10.m1.(2)yR,x2+(k+1)x-k+可取尽一切正实数.=(k+1)2-4(-k+)0.k2+6k0.k0或k-6.1
