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1、第三讲 复习数列一、 本讲进度 数列复习二、 本讲主要内容1、 等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；2、 一般数列的通项及前n项和计算。三、 学习指导 1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。研究数列，首先研究对应法则通项公式：an=f(n)，nN+，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式Sn：Sn=a1+a2+an，由Sn定义，得到数列中的重要公式：。一般数列的an及Sn,，除化归为等差
2、数列及等比数列外，求Sn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列 （1）定义，an为等差数列an+1-an=d（常数），nN+2an=an-1+an+1（n2，nN+）； （2）通项公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d； 前n项和公式：； （3）性质：an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差； Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；若an，bn均为等差数列，则annn,kan+c（k，c为常数）均为等差数列；当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=；当2n=p+q时，2
3、an=ap+aq；当n为奇数时，S2n-1=(2n-1)an；S奇=a中，S偶=a中。 3、等比数列（1） 定义：=q（q为常数，an0）；an2=an-1an+1（n2，nN+）；（2） 通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m; 前n项和公式：；（3） 性质当m+n=p+q时，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=，当2n=p+q时，an2=apaq，数列kan，成等比数列。4、等差、等比数列的应用 （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等； （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若a
4、n为等差数列，则为等比数列（a0且a1）；若an为正数等比数列，则logaan为等差数列（a0且a1）。四、 典型例题 例1、已知数列an为等差数列，公差d0，其中，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+kn。解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手设an首项为a1，公差为d a1，a5，a17成等比数列 a52=a1a17（a1+4d）2=a1(a1+16d) a1=2d设等比数列公比为q，则对项来说，在等差数列中：在等比数列中： 注：本题把k1+k2+kn看成是数列kn的求和问题，着重分析kn的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。例2、设数列a
5、n为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列的前n项和，求Tn。解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设an首项为a1，公差为d，则 此式为n的一次函数 为等差数列 法二：an为等差数列，设Sn=An2+Bn 解之得： ，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质例3、正数数列an的前n项和为Sn，且，求：（1） 数列an的通项公式；（2） 设，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn.解题思路分析：（I） 涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n2）消元化归。 4Sn=(an+1)2 4Sn-1=(an-1+1)2（n2） 4(Sn-Sn-1
6、)=(an+1)2-(an-1+1)2 4an=an2-an-12+2an-2an-1整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0 an0 an-an-1=2 an为公差为2的等差数列在中，令n=1，a1=1 an=2n-1 （II） 注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。例4、等差数列an中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。解题
7、思路分析：利用前奇数项和和与中项的关系令m=2n-1，nN+则 n=4 m=7 an=11 a1+am=2an=22又a1-am=18 a1=20，am=2 d=-3 an=-3n+23例5、设an是等差数列，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an。解题思路分析： an为等差数列 bn为等比数列从求解bn着手 b1b3=b22 b23= b2= 或 或 an=2n-3 或 an=-2n+5注：本题化归为bn求解，比较简单。若用an求解，则运算量较大。例6、已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和，（1） 用Sn表示Sn+1；（2） 是否存在自然数c和k，使
8、得成立。 解题思路分析： （1） （2）（*） 式（*） Sk+1Sk 又Sk4 由得：c=2或c=3当c=2时 S1=2 k=1时，cSk不成立，从而式不成立 由SkSk+1得： 当k2时，从而式不成立 当c=3时，S12，S2=3 当k=1，2时，CSk不成立 式不成立 当k3时，从而式不成立综上所述，不存在自然数c，k，使成立例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相等）从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。
9、（1）设ak（1kn）为第k位职工所得资金额，试求a2，a3，并用k，n和b表示ak（不必证明）； （2）证明：ak0，d= an是递减数列，且Sn必为最大值设 k=14 (Sn)max=S14=14.35五、 同步练习（一） 选择题 1、已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0logmab1 B、1m8 D、0m82、设a0，b0，a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，则x1+x2与y1+y2的大小关系是A、x1+x2y1+y2 B、x1+x2y1+y2C、x1+x2y1+y23、 已知Sn是an的前n项和，Sn=Pn（PR，nN+），那么数列anA、
10、 是等比数列 B、当P0时是等比数列C、 当P0，P1时是等比数列 D、不是等比数列4、 an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5等于A、5 B、10 C、15 D、205、 已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是A、 0 B、1 C、2 D、1或26、 设mN+，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+F(1024)的值是A、 8204 B、8192 C、9218 D、8021 7、若x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（ab）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值为A、 B、 C、
11、D、8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是A、1557 B、1473 C、1470 D、1368 9、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行A、 11700m B、14700m C、14500m D、14000m 10、已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0），nN+满足（nN+），则an为等差数列是bn为等比数列的_条件。14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为216cm3，则全面积的最小值是_cm2。15、若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2-logba)(1+logca)=_。（三） 解答题16、已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。17、已知等比数列an的首项为a10，公比q-1（q1），设数列bn的通项bn=an+1+an
