(完整word版)八年级数学上册25角平分线的性质角平分线性质在竞赛中大显身手素材青岛版!

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1、角平分线性质在竞赛中大显身手我们知道:角的平分线上的点到角的两边的距离相等;反过来,到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,这是角的平分线的重要性质.利用角的平分线性质可以省去一次全等三角形的证明过程,因此利用角的平分线性质说明问题方便快捷,而角的平分线性质去解决一些竞赛试题时更是大有可为.例1 如图1, EG FG分别是/ MEF和/ NFE的平分线,交点是 G PB PC分别是/ MBC 和/ NCB勺平分线,交点是 P. F、G在AN上,B、E在AM上,如果/ EG= a,那么/ BPC与 a的大小关系是()A.Z BPO a B.Z BPC a C . Z BP& a D .无法

2、确定分析:已知条件中出现了四条角平分线,为了能充分运用角平分线的性质,分别过点G和点P向角的两边引垂线,即可分别求出ZBPC与Z A、Z EGF与Z A的关系,从而使问题获解.解:过点 P作 PHL BM于 H, PKL CN于 K, PQL BC于 Q 过点 G作 GDL EM于 D, GJ丄 FN 于J, GI丄EF于I .因为PB PC分别是Z MB(和Z NCB勺平分线,所以 PH=PQ=PK易证Z HPBZ QPBZ KPCZ QPC1 故Z BP(=- Z HPK2又Z AHPZ AKP=90,所以 Z HPK180 - Z A.11故Z BPC(180 - Z A)=90 - Z

3、 A.221同理,Z EGI=90 -丄 Z A.2所以Z BP(=Z EGF= a .答案选B.反思:通过观察图1不难发现:点 6是厶AEF的两外角平分线的交点,点 P是厶ABC的 两外角平分线的交点,因此通过本例我们不难得出这样一个结论:三角形两外角平分线的夹角与第三角的一半互为余角.例 2 如图 2, ABC中, Z ABC110 , Z AC咅20, CE是Z ACB勺角平分线,D是 AC上一点,若Z CBD20,求Z ADE的度数.分析:由/ ACE=20。和/ CBD20。,得/ ADB40.考虑到 CE是/ACB的角平分线, 可过点E作ENL CAEPL CB则EN=EP.若能证

4、明 DE是/ADB的角平分线,过点E作EML BD 则有EN=EP=EM于是/ ADE可求.图解:作 ENLCA于 N, EML BD于 M EPLCB于 P,由/ ABD/ ABG / CBD100 -20 =80 ,/ PBA=180 -100 =80,得 / PB/=Z ABD 从而 EP=EM而CE平分/ ACB于是EN=EP,故EN=EM所以ED平分/ ADB从而111/ ADE= / ADB( / ACB/ CBD= ( 20 +20 )=20 .222反思:通过观察图 2不难发现:点 E是厶BCD的内角/ BCD的平分线、外角/ DBP的平分线和外角/ ADB的平分线交点,该点到厶 BCD三边的距离相等实际上,到 BCD三边的距离相等的点一共有三条, 其中一条在三角形内部(三角形三个内角平分线的交点 ),另外三 条在三角形外部(三角形其中一个内角与另外两个内角的外角平分线的交点 ).这些结论可以 利用角平分线的性质证明,同学们应该熟记这些结论,以帮助我们快速找到与角平分线有关 问题的思路.#

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