《2011届高考数学数列求通项公式及求和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高考数学数列求通项公式及求和（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 数列求通项公式与求和 （Shmily.东） 一、 通项公式用于型已知条件 先写出数列前几项 观察数列变化规律猜测出通项后，用数学归纳法证明（“退一步”思想）即由已知推出相邻的递推式后将两式作差化简得出结论 构造等差等比数列等）公式法累加法用于等差、等比数列相关公式递推方法猜想归纳法构造辅助数列叠乘法chengcheng 法观察法数列求通项的一般方法与的关系利用用于型已知条件 二、数列求和 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和倒序相加
2、法裂项相消法错位相减法分组求和法主要是针对等差等比数列，直接应用求和公式公 式 法数列求和的一般方法（五种）若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子设数列的等比数列，数列是等差数列，求数列的前项和时，常常将的各项乘以的公比，并向后错一项与的同次项对应相减，即可转化为特殊数列求和补充：典型例题 一通项类型 形如型 累加法：（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：时，所以各式相加得 即：.为了书写方便，也可用横式来写： 时，=.若f(n)
3、是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则PS：形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.例1. 数列满足,求数列an的通项公式.分析 1：构造 转化
4、为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故 解法2：时，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列. 评注：结果要还原成n的表达式.例2.（2005江西卷）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：方法一：因为以下同例1，略答案 类型 . 形如型 累乘法 （1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由得 时，=f(n)f(n-1). 例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.
5、解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，=.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.例2.已知,求数列an的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.PS.形如型（1）若(p为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1. 已知数列,求此数
6、列的通项公式.注：同上例类似，略.类型 形如,其中)型 构造辅助数列（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例1已知数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得
7、,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 方法二：由 时，两式相减得 ,数列是以=为首项，以c为公比的等比数列.=( .方法三：迭代法由 递推式直接迭代得=.PS 形如型.(1)若(其中k,b是常数，且)方法：相减法例1. 在数列中，求通项.解：， 时，两式相减得 .令,则利用类型5的方法知即 再由累加法可得.亦可联立 解出.例2. 在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.(2)若(其中q是常数，且n0,1)若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.即： ,
8、令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例1.（2003天津理）设为常数，且证明对任意1，；证法1：两边同除以（-2）,得令,则=.证法2：由得 .设，则b. 即：,所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,即：,故 .评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3：用待定系数法设, 即:,比较系数得：,所以 所以,所以数列是公比为2，首项为的等比数列. 即 .方法4：本题也可用数学归纳法证
9、.（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立； ( ii)假设当n=k（k1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立. 规律： 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.类型 形如型 取倒数法.（1）即 例1. 已知数列中，求通项公式。 解：取倒数： 例2.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（）证明分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.证：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数
10、入手，再通过裂项求和即可证得.2.形如型例1. 设数列an满足,求an的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为类型5来求. 类型 形如(其中p,q为常数)型（1）当p+q=1时 用转化法例1.数列中，若,且满足,求.解：把变形为.则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则 利用类型6的方法可得 .（2）当时 用待定系数法.例2. 已知数列满足，且,且满足,求.解：令,即,与已知比较，则有,故或下面我们取其中一组来运算，即有,
11、则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故,即,利用类型 的方法，可得. 评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.类型：用于型已知条件。转化步骤：（1）等式两边同时除以：；（2）令，则；当时，是以1为公差的等差数列；当时，转化为类型一构造等比数列；类型：用于型已知条件。转化步骤：设，由求出：，则是以为公比，为首项的等比数列；通过求出间接求出通项.例：（06重庆）在数列中，若，则该数列的通项_变式1：（08四川21）已知数列的前n项和()求；()证明：数列是一个等比数列.()求的通项公
12、式.变式：(06福建22）已知数列满足,（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例： （08全国19）在数列中，求数列的前项和变式1：（08四川21）已知数列的前n项和()求；(2)求的通项公式.例：（08全国19）在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和变式：（08天津20）已知数列中，且，（）设，证明是等比数列；（）求数列的通项公式；小结：先证明新数列为等差或等比再求通项问题，先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题，再由等差或等比的通项公式间接解决问题。类型：指数型递归数列（两边取对数）如：两边取对数得到：，令，则，则转化为类型4；例，数列满足： ，求的通项
13、；类型 形如(其中p,r为常数)型（1）p0， 用对数法.例1. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等比数列， ，练习 数列中，（n2），求数列的通项公式. 答案：（2）p0时 用迭代法.例1.（2005江西卷）已知数列，（1）证明 （2）求数列的通项公式an.解：（1）略（2）所以 又bn=1，所以.方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解.类型： 已知求通项： 例3：（07福建21）数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和变式：(09全国 19）设数列的前n项和为，已知，（）设，证明数列是等比数列；（）求数列的通项公式； 变式：(07重庆）已知各项均为正数的数列的前项和满足， （）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证：变式：若，则变式:正项数列满足：是其前项之和，且，求；二数列求和小结求和方法： （1）公式法：用于等差与等比数
