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1、大型超市购物篮问题分析_数学建模大型超市“购物篮”分析摘要本文是针对如何充分利用顾客购物习惯问题，通过对题目的分析，运用运筹学的知识，为超市经理提供一个能使利润最大化的促销方案。 首先运用变量的方法对数据进行预处理，将顾客有意愿购买的商品记为1，没有意愿购买的商品记为0.针对问题一：根据变量的聚类方法，建立模型一：定量模型，利用编程，得出是表达超市中多种商品间的关联关系的密切程度的定量模型。针对问题二：首先根据计算方法，建立模型二：最畅销商品模型，运用编程，得出当假设认为大于700为购买频繁时得出这些被最频繁购买的商品每2种和每3种商品被同时购买的次数，观察发现其结论与问题一得出的商品种类基本
2、一致，则说明计算方法是是一种快速有效的能从购买记录中分析出哪些商品是最频繁被同时购买的方法。同时通过对运用计算方法计算出的结果的观察，发现当产品数量增大时商品被同时购买的次数急剧下降。所以商品数量再增加已经没有研究意义，故只讨论商品数量为2和3的情况。最终得出最频繁被同时购买的商品组合共有37组，其中商品数量为2的商品组合数有33组且被同时购买时次数最多的是368和529两种商品的组合，次数为334次。商品数量为3的商品组合数有4组且被同时购买时次数最多的是368，489，682三种商品的组合，次数为124次。针对问题三：基于消费者理性消费的原则，建立模型三：最优促销方案模型，运用编程商品进行
3、筛选，将其分为畅销高利润G，畅销低利润D，非畅销高利润g，非畅销低利润d四类，然后通过分析得出可以购买368，956，529，368，692等G商品分别送106，954，425，761等d商品。将g类商品进行打折，最后将G和D类商品用问题二得出的组合方案进行商品组合然后直接放在同一货架中进行出售。关键词：变量 计算方法 编程 商品组合1.问题的重述作为超市的经理，经常关心的问题是顾客的购物习惯。他们想知道：“什么商品组或集合顾客多半会在一次购物时同时购买？”。现在在已知超市近一个星期的所有顾客购买物品的清单和相应商品的价格的情况下，需要给出超市经理一个合理的“购物篮”分析报告，并提供一个促销计
4、划的初步方案。问题1 附件 1 中的表格数据显示了该超市在一个星期内的 4717 个顾客对 999 种商品的购买记录，表格中每一行代表一个顾客的购买记录，数字代表了其购买商品的超市内部编号。试建立一种数学模型，该模型能定量表达超市中多种商品间的关联关系的密切程度。问题2 根据你们在问题1中建立的模型，寻找一种快速有效的方法能从附件 1 中的购买记录中分析出哪些商品是最频繁被同时购买的。超市经理希望得到尽可能多的商品被频繁同时购买的信息，所以你们找到的最频繁被同时购买的商品数量越多越好。例如：如果商品 1、商品 2、商品 3 在 4717 个购物记录中同时出现了 200 次，则可以认为这三个商品
5、同时频繁出现了 200 次，商品数量是 3。问题3 附件 2 给出了这 999 中商品的对应的利润，试根据你们在问题1、问题2中建立的模型，给出一种初步的促销方案，使超市的效益进一步增大。2 问题分析针对问题一：根据问题要求需要计算出超市中多种商品间的关联关系的密切程度，首先我们用0-1变量处理后的数据建立了模型，即假设用向量来描述第个消费者的某次购买行为，再将得到的每种商品的变量用对其相关性进行度量，然后再根据得到的相关性定量大小对其进行分类，同时检验以检验该种模型是否可行，若不可行，则再次用对其相关性进行度量，并计算出多种商品间的关联关系的密切程度，同时用对所得出的数据进行检验，若与模型得
6、出结果一致则说明该模型为其定量模型，因而可以得出即为超市中多种商品间的关联关系的密切程度的定量模型。反之则需要再次寻找新的定量模型。针对问题二：由于问题二要求在问题一的基础上计算出哪些商品是最频繁被同时购买的，由问题一可知前四类商品为畅销商品以及四类商品之间两两之间的关联性，因而可以推断得出这四类商品是被频繁的购买，所以运用计算方法建立最畅销商品模型，通过该模型计算出频繁出现商品的种类以及次数，然后将其与问题一得出的结论做比较。若该模型所得出的结论中所包含的商品种类与问题一得出的商品种类基本一致，则说明计算方法是一种快速有效的能从购买记录中分析出哪些商品是最频繁被同时购买的方法，便可以运用计算
7、方法计算出哪些商品是最频繁被同时购买的，反之则不是，因而需要寻找新的方法。针对问题三：为了将数据简化，我们应将运用编程将商品分为畅销高利润G，畅销低利润D，非畅销高利润g，非畅销低利润d四类，分别对这四类商品及其价格在基于消费者理性消费的基础上进行分析，通过对数据的分析我们可以结合问题二选择将四类商品中关联商品陈列出来组成组合作为促销商品来销售，或者将非畅销利润低的商品打折销售，同时也可以将畅销且利润高的商品与购买次数少且利润低的商品组合在一起进行销售。3模型的假设与符号说明31 模型的假设（1）假设一：假设在所有的购买记录中某一商品被记录的次数累计大于700次为畅销商品。（2）假设二：假设在
8、所有的购买记录中某几商品被记录的同时购买的次数累计大于200次为最频繁被同时购买的。（3）假设三：假设商品利润大于100为高利润，反之为低利润。（4）假设四：每位顾客的购物行为都是理性的,真实的反应当地消费情况。（5）假设五：超市货源充足，最大限度满足顾客需求（6）假设六：短期时间内商品的销售情况不变。（7）假设七：消费者的购买习惯在以后的时间中不会发生任何变化。32 符号说明第个消费者对第种商品的购买情况消费者编号第种商品被个消费者购买的情况对商品和有相同购买行为（同时购买，或者同时不买）的消费者在总共个消费者中所占的比例在购买了商品和中至少一种的消费者中，同时购买了两种产品的消费者数元集合
9、频繁项集支持度阈值候选项集C畅销商品F非畅销商品G畅销商品中的高利润商品D畅销商品中的低利润商品g非畅销商品中的高利润商品d非畅销商品中的低利润商品4模型的准备对于问题一：方便了问题的求解，我们将数据进行了预处理，处理方法如下：首先以向量来描述第个消费者的某次购买行为，如果在该消费者的购物篮中发现了第种商品，则有，否则，从而通过将每位消费者对999种商品的购买情况化为了具体的变量。（具体过程及结果见附录 ）。对于问题二：在分析哪些商品是最频繁被购买时认为如果某些商品都是在4717次购物记录中频繁出现的那么也就最有可能这些商品是同时被购买的，所以有必要统计出各种商品在4717次购买记录中的出现次
10、数，因此我们需要先通过将其具体的数值统计出来。5.模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1 定量模型的建立为了计算超市中多种商品间的关联关系的密切程度我们建立定量的模型。首先可以先研究两种商品间的关联性，进而在推广至多种商品间的关联性。先设向量表示第个消费者对第种商品的购买情况，如果在该消费者的购物篮中发现了第种商品，那么，否则。假设，我们有总共个消费者，那么我们可以定义向量。该向量刻画了第种商品被个消费者购买的情况。如果，由大量的1构成，那么我们就知道该商品被消费者购买的频率很高。另一方面，如果由大量的0构成，那么我们就知道该商品被购买的频率很低。因此如果有两个共同的商品和，我
11、们还可以通过比较向量和的相似性来获得对他们相关性的度量。具体地说，如果我们发现和的各个分量非常相似，这说明商品和很容易被同时购买，或者被同时不购买。因此，我们可以粗糙地认为这两种产品的相关性很强。因此，我们建立第一种度量商品相关性数量指标模型如下：，如果确实有则其中示性函数，否则。也就是说就表示对商品和有相同购买行为（同时购买，或者同时不买）的消费者在总共个消费者中所占的比例。因此，如果值很大，这说明商品和的相关性很强，因此应该被聚为一类，否则说明相关性很弱。此时结果为除了编号为215、217、368、419、438、489、510、529、682、692、937、720、722、766、88
12、3、914、956的商品中任意两种商品间的值很小外，其他大多数商品中任意两种商品间的值都很大。这并不说明任意两个产品的相关性都很强，而是由于产品种类繁多，大多数消费者都会同时不购买这两种产品，因此造成的值很大。因此我们转而考虑如下相关性度量：此时由于和为取值只可能为0或者1的变量，因此条件隐含着和中至少有一个取值为1。也就是说，商品和中至少有一种被第个消费者购买。因此，计算了个消费者中，有多少人至少购买了商品和中的一种。那么，指标就度量了在购买了商品和中至少一种的消费者中，有多少消费者同时购买了两种产品。由此可见，如果很大，这说明消费者一旦决定购买商品和中任何一种，那么另外一种就也有很大可能性
13、被同时购买；进而我们知道，这两种商品的相关性很大，应该被聚为一类，否则相关性很小。5.1.2 定量模型的求解同时在此基础上则可以推广至多种商品间的关联性。即在在两种商品关联度很高的情况下将该两种商品聚为同一类，再一次为基础考虑多个“小类”聚为“大类”。因此我们通过对其聚类，最终将其分为了5类，同时得出如下聚类图：图（1）：商品聚类图下表为聚类后的每一类中所含有的具体商品编号：表一：分类表 类别第1类第2类第3类第4类第5类商品编号368529、829217、419、510438、489、682、692、720、722、766、883、914、937、956除前几类外的其他商品通过比较分析知道第
14、1类商品为出现次数最多的商品，是最为畅销的商品，第2类商品为比较畅销的商品，各类商品畅销程度随类别数增大而降低。由此可见，超市中畅销商品的种类是较少的，因而较为符合实际，所以聚类的结果可信。虽然第5类商品间有密切的关联，但考虑到畅销程度不令人满意的商品不能为超市带来可观利益，因此不是超市经理所重点关注的，我们就不再予以研究。我们重点关注其他四类商品的关联关系的密切程度，并给出定量模型来反映。5.1.3 定量模型的检验接着我们用研究了前四类商品任意两商品之间的关联程度的具体数值，得出结果如下表：表二：相关程度大小表商品编号关联关系密切程度2174191.00002175101.000021788
15、31.00004196820.87504867220.77783685100.83333688290.85715298290.856824890.83337667201.00006924380.77279568290.75009569371.0000从上表可以看出四个分类中的任意两种商品之间的相关性都是大于等于0.75的，不难看出任意两种商品之间的相关性较大，从而也说明了是定义定量表达超市中多种商品间的关联关系的密切程度的模型。5.2 问题二的模型建立与求解5.21 模型二的建立由于问题二要求我们找出一种能从附件 1 中的购买记录中分析出哪些商品是最频繁被同时购买的方法，而计算方法的基本原理就是找出数据集中哪些项同时出现次数最多，然后根据出现最多的项去寻找关联规则，符合题意，因此我们以计算方法为基础建立最畅销商品模型对其进行求解。计算方法的基本步骤用图表说明如图二：图二：计算流程图将上图的信息用文字的形式表达如下：以表示一个元集合，其形式为：以表示一个频繁项集，该频繁项集的元素
